Нахождение действия по данному уравнению движения

[KubikRubik]

Как найти действие для уравнения движения: $m\ddot{x}-\gamma\dot{x}=0$?

Второй член - это ведь диссипативная сила, можно его как-то в действии учесть?
Единственная догадка, что по аналогии с энергетическим cмыслом Лагранжиана, можно написать что-то навроде:
$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}dt[\frac{m\dot{x}^2}{2}+\int\limits_{t_1}^{t_2}\gamma\dot{x}^2dt]$, т.к. $A=\int\limits_{}^{}\delta A=\int\limits_{x_1}^{x_2}\gamma\dot{x}dx=\int\limits_{t_1}^{t_2}\gamma\dot{x}(\dot{x}dt)=\int\limits_{t_1}^{t_2}\gamma\dot{x}^2dt$
Но нет ни малейшего понятия, насколько это вообще корректно.

[Eule_A]

Вы с интегралом по времени явно перемудрили - где квадратные скобки. В принципе, можно кустарно сконструировать действие, чтобы уравнение Лагранжа нужное получилось. Или можно посмотреть в курсе механики про диссипативную функцию Рэлея. Насколько помнится, она тут как раз подойдёт.

[Kiev]

Раз вам дано уравнение движения, значит оно получено из варьирования действия, тогда вам нужно произвести обратное вирированию операцию и найдёте действие.

[pogulyat_vyshel]

С точностью до подробностей: Пусть $f(x,\dot x)$ -- первый интеграл системы $\ddot x=u(x,\dot x)$ тогда
эта система является лагранжевой с лагранжианом

$$L=\dot x\int_c^{\dot x}\frac{f(x,y)}{y^2}dy$$

[KubikRubik]

Eule_A в сообщении #1356889 писал(а):

Вы с интегралом по времени явно перемудрили - где квадратные скобки. В принципе, можно кустарно сконструировать действие, чтобы уравнение Лагранжа нужное получилось. Или можно посмотреть в курсе механики про диссипативную функцию Рэлея. Насколько помнится, она тут как раз подойдёт.

Функция Рэлея выражает ведь скорость рассеивания энергии, в то время как в обычных случаях в Лагранжиане в действии у нас стоят просто кинетическая и потенциальная энергии.

Kiev в сообщении #1356900 писал(а):

Раз вам дано уравнение движения, значит оно получено из варьирования действия, тогда вам нужно произвести обратное вирированию операцию и найдёте действие.

У нас уравнение движения равно вариационной производной, верно? Это надо функционально интегрировать что ли? Или надо угадать общий вид функции? Для такого случая уравнение движения выглядит вроде бы так: $\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}+\frac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0$, где $U=\frac{1}{2}\gamma\dot{x}^2$ - функция Рэлея.

-- 26.11.2018, 09:48 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1356905 писал(а):

С точностью до подробностей: Пусть $f(x,\dot x)$ -- первый интеграл системы $\ddot x=u(x,\dot x)$ тогда
эта система является лагранжевой с лагранжианом

$$L=\dot x\int_c^{\dot x}\frac{f(x,y)}{y^2}dy$$

Первый интеграл $f(x,\dot{x})=\int\limits_{t_1}^{t}(\ddot{x}-\frac{\gamma}{m}\dot{x}})dt=\dot{x}-\frac{\gamma}{m}x$, верно? А как дальше Лагранжиан вывести, как он связан с первым интегралом? Если это какой-то общеизвестный факт, то где про это можно почитать?

[pogulyat_vyshel]

KubikRubik в сообщении #1356908 писал(а):

верно?

верно

KubikRubik в сообщении #1356908 писал(а):

А как дальше Лагранжиан вывести, как он связан с первым интегралом?

что значит вывести? он уже выведен, я вам написал формулу. докажите ее прямой проверкой

KubikRubik в сообщении #1356908 писал(а):

Если это какой-то общеизвестный факт, то где про это можно почитать?

факт общеизвестный, где прочитать -- не знаю

[KubikRubik]

pogulyat_vyshel в сообщении #1356909 писал(а):

что значит вывести? он уже выведен, я вам написал формулу. докажите ее прямой проверкой

Ну, имелось в виду, из каких соображений Лагранжиан выглядит именно так? Если это следствие того общеизвестного факта, то будем читать-разбираться.