Вопрос по математическому анализу

[~Olya~]

Всем привет!

Имеется следующая задача: Пусть даны две последовательности $\{p_n\}$ и $\{q_n\}$, такие что для любых $n: p_n>0, q_n>0$. Причем $\lim_{n\to+\infty}\frac{p_1+...+p_n}{n \cdot p_n} = \alpha$, $\lim_{n\to+\infty}\frac{q_1+...+q_n}{n \cdot q_n} = \beta$ и $\alpha+\beta>0$. Доказать, что $\lim_{n\to+\infty}\frac{p_1 \cdot q_1+2 \cdot p_2 \cdot q_2+...+n \cdot p_n \cdot q_n}{n^2 \cdot p_n \cdot q_n} = \frac{\alpha \cdot \beta}{\alpha+\beta}$

Я пыталась сделать эту задачу следующим образом: Взять $\lim_{n\to+\infty}(\frac{p_1+...+p_n}{n \cdot p_n}+\frac{q_1+...+q_n}{n \cdot q_n}) = \alpha + \beta$ и $\lim_{n\to+\infty}(\frac{p_1+...+p_n}{n \cdot p_n} \cdot \frac{q_1+...+q_n}{n \cdot q_n}) = \alpha \cdot \beta$. Затем если поделить последнее на первое, то получается $\lim_{n\to+\infty}( \frac {\frac{p_1+...+p_n}{n \cdot p_n} \cdot \frac{q_1+...+q_n}{n \cdot q_n}}{\frac{p_1+...+p_n}{n \cdot p_n}+\frac{q_1+...+q_n}{n \cdot q_n}}) = \frac{\alpha \cdot \beta}{\alpha + \beta}$.

Подсократив выражение под пределом, получаю $\lim_{n\to+\infty}( \frac {1}{n} \cdot \frac{(p_1+...+p_n) \cdot (q_1+...+q_n)}{q_n \cdot (p_1+...+p_n)+p_n \cdot (q_1+...+q_n)}) = \frac{\alpha \cdot \beta}{\alpha + \beta}$. Но предел слева отличается от того предела, значение которого требовалось доказать.

Также пробовала показать, что отношение пределов $\lim_{n\to+\infty}\frac{p_1 \cdot q_1+2 \cdot p_2 \cdot q_2+...+n \cdot p_n \cdot q_n}{n^2 \cdot p_n \cdot q_n} = \frac{\alpha \cdot \beta}{\alpha+\beta}$ и $\lim_{n\to+\infty}( \frac {1}{n} \cdot \frac{(p_1+...+p_n) \cdot (q_1+...+q_n)}{q_n \cdot (p_1+...+p_n)+p_n \cdot (q_1+...+q_n)}) = \frac{\alpha \cdot \beta}{\alpha + \beta}$ равно единице, но толком ничего не получается

[Null]

Ну, например, в моем решении понадобилось доказать то что $\lim_{n\to+\infty} n \cdot p_n = +\infty$. Еще я использовал теорему Штольца.

[vpb]

Можно рассмотреть $x_n=p_1+\ldots+p_n$, и посмотреть, как себя ведет частное $(x_n-x_{n-1})/x_n$, и сделать отсюда выводы. Только это довольно сложно получается.

А какое решение Null имеет в виду, я догадаться не могу.

[DeBill]

~Olya~
Сначала - грубая прикидка..
По условию, $q_1+...+q_n =\beta nq_n$,$p_1+...+p_n =\alpha np_n$ , и даже $p_1+...+p_{n-1}= \alpha np_n$ (почти...).
Тогда $(\alpha + \beta)(p_1q_1+2p_2q_2+ ....+np_nq_n)=$ открываем скобки, и используем наши три "почти равенства" для всех $n$ (сначала - справа налево, а затем - наоборот):
$=(p_1+...+p_n)(q_1+...+q_n)= \alpha np_n\beta nq_n$, что и дает нужное...
Чистка: а теперь надо взять малое $\varepsilon$, выбрать $N$, чтоб при $n>N$ "равенства " выполнялись "с точностью до $\varepsilon$", и попробовать таки получить все честно.... (не проверял аккуратно; видимо, таки потребуется

Null в сообщении #1356252 писал(а):

что $\lim_{n\to+\infty} n \cdot p_n = +\infty$.

)

[~Olya~]

DeBill в сообщении #1356349 писал(а):

По условию, $q_1+...+q_n =\beta nq_n$,$p_1+...+p_n =\alpha np_n$ , и даже $p_1+...+p_{n-1}= \alpha np_n$ (почти...).
Тогда $(\alpha + \beta)(p_1q_1+2p_2q_2+ ....+np_nq_n)=$ открываем скобки, и используем наши три "почти равенства" для всех $n$ (сначала - справа налево, а затем - наоборот):
$=(p_1+...+p_n)(q_1+...+q_n)= \alpha np_n\beta nq_n$, что и дает нужное...

Подскажите, пожалуйста, правильно я поняла, что предлагается сделать следующие преобразования:
$(\alpha+\beta) \cdot (p_1 \cdot q_1 + ... + p_n \cdot q_n) = \newline (\alpha \cdot p_1 \cdot q_1 + \alpha \cdot 2 \cdot p_2 \cdot q_2 + ...+ \alpha \cdot p_n \cdot q_n) + (\beta \cdot p_1 \cdot q_1 + \beta \cdot 2 \cdot p_2 \cdot q_2 + ... \beta \cdot p_n \cdot q_n) = \newline [$меняем по формулам $\beta nq_n = q_1+...+q_n$ и $\alpha np_n = p_1+...+p_n$ для каждого слагаемого, т.е. для всех n$] = \newline (p_1 \cdot q_1 + (p_1 + p_2) \cdot q_2 + ...+ (p_1 + ... + p_n) \cdot q_n) + (p_1 \cdot q_1 + p_2 \cdot (q_1 + q_2) + ... p_n \cdot (q_1 + ... + q_n)) \approx \newline $[пользуясь тем, что $p_1+...+p_{n-1} \approx \alpha np_n = p_1+...+p_n$]$ \approx \newline (p_1 + ... + p_n) \cdot q_1 + (p_1 + ... + p_n) \cdot q_2 + ...+ (p_1 + ... + p_n) \cdot q_n + \newline p_1 \cdot (q_1 + ... + q_n) + p_2 \cdot (q_1 + ... + q_n) + ... p_n \cdot (q_1 + ... + q_n) = \newline 2 \cdot (p_1 + ... + p_n) \cdot (q_1 + ... + q_n) ?$
Только там получается еще откуда-то коэффициент 2, а его быть не должно. Где у меня ошибка в рассуждениях?

[Null]

$p_1+...+p_{n-1} \approx \alpha np_n = p_1+...+p_n$ - неправда. А как вы получили дальнейший результат используя это тоже непонятно.

[DeBill]

~Olya~ в сообщении #1356566 писал(а):

предлагается сделать следующие преобразования:

Ну да, почти так , только лучше использовать ту, обрезанную, формулу (и тогда не будет никакого дублирования слагаемых). Так что перед Вашим "пользуясь" будет уже все готово: это в точности (однократное) произведение двух больших скобок, содержащих слагаемые с первого по эн-ное. А вот уже эти скобки переработаем снова в...

Null в сообщении #1356582 писал(а):

$p_1+...+p_{n-1} \approx \alpha np_n = p_1+...+p_n$ - неправда.

Да кто же спорит. Однако, Вы применили неточное цитирование (опустили слово "почти". А оно относилось не только к последней формуле, а ко всем трем); в результате верное утверждение стало неверным
Вообще то , имелись в виду асимптотические равенства (надо было перед "почти" смайлик нарисовать, да) . И верные они - по условию (и из факта, что дробь $\frac{p_n}{np_n}$ таки стремится к нулю )
Конечно, от этих прикидок до решения еще не близко, и возня предстоит немалая...

-- 25.11.2018, 01:18 --

Null
Видимо, Вы не заметили слов "грубая прикидка" (а также слов "три почти равенства" внутрЕ), а также намеченного (в конце сообщения) плана честного решения в соответствии с "грубой прикидкой"

-- 25.11.2018, 01:54 --

~Olya~
И - да, я посмотрел: потребуется все же

Null в сообщении #1356252 писал(а):

о $\lim_{n\to+\infty} n \cdot p_n = +\infty$.

Ну, это несложно: предположение о сходимости ряда $\sum\limits_{}^{}p_n$ сразу дает противоречащую этому оценку снизу на $p_n$...И т.д.

[Null]

Ну да можно доказать эту эквивалентность при $\alpha>0$, что не очевидно. Но дальнейшие вычисления все равно неверны.
А $\lim_{n\to+\infty} n \cdot p_n = +\infty$ я предложил доказать как 1ый шаг.

[SomePupil]

С помощью теоремы Штольца можно получить

$$n-\frac 1\alpha + o(1) = \frac{(n-1)p_{n-1}}{p_n},$$

аналогично для $\{q_n\}.$ Ну а для обоснования того, что можно применить теорему Штольца, надо показать, что $np_n \tend \to +\infty\;(nq_n \tend\to+\infty).$
P. S. И, похоже, случай $\alpha = 0\;(\beta = 0)$ придется отдельно рассмотреть.