Утверждение из теории меры

[meshok]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, литературу, в которой можно найти доказательство этого утверждения.
Утверждение. Пусть $\mu$ - вероятностная мера в $\mathbb{R}$, $m$ - мера Лебега в $\mathbb{R}$. Тогда
$1.$ Предел $\alpha(y)=\lim\limits_{\tau \to 0}\frac{\mu[y-\tau,y+\tau]}{2\tau}$ существует и конечен $m$ - почти везде.
$2.$ $\alpha(y) существует $\mu$ - почти везде.
$3.$ Если $\alpha(y)<\infty$ $ \mu$ - почти везде, то $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $m$.

[pogulyat_vyshel]

Было бы интересно взглянуть на решение. Вот то, что последовательность функций $\alpha_\tau(y)=\frac{\mu[y-\tau,y+\tau]}{2\tau}$
*-слабо сходится к мере $\mu$ это я еще могу понять...

[g______d]

1) Монотонная функция дифференцируема почти везде.

2) и 3): Не знаю, насколько сейчас можно писать полное решение (попыток от ТС не видно). Но напишу несколько подсказок.

Пусть $f(x)=\mu(-\infty,x]$,

$$ A_C=\{x\in \mathbb R\colon \exists \delta>0\colon \frac{f(y)-f(x)}{y-x}<C,\,\,\forall y\in (x-\delta,x+\delta)\setminus \{x\}\}. $$

Покажите, что если $A\subset A_C$ и $m(A)=0$, то $\mu(A)=0$. Показывайте это так: покройте $A$ открытыми интервалами суммарной длины $<\varepsilon/(3C)$. Назовём это "Покрытие 1". В каждой точке $A$ нарисуйте интервал $(x-\delta/3,x+\delta/3)$ из предыдущей формулы, содержащийся целиком в одном из интервалов Покрытия 1. Эти интервалы будут образовывать "Покрытие 2". Примените к Покрытию 2 лемму Витали и получите набор непересекающихся интервалов вида $(x-\delta/3,x+\delta/3)$, такую что $(x-\delta,x+\delta)$ покрывают $A$. Это будет "Покрытие 3".

Дальше докажите пункты 2 и 3, используя Покрытие 3 и разложение меры в сумму трёх компонент (теперь это не сложно).

[pogulyat_vyshel]

Если рассуждать по-мужицки, не вдаваясь в подробности, то для $\mu=\delta(x)$ должно бы быть $\int_\mathbb{R}\alpha(x)\varphi(x)dm=\varphi(0)$ Что странно

[g______d]

pogulyat_vyshel в сообщении #1356470 писал(а):

Что странно

А что именно странно? Если $\mu=\delta(x)$, то $\alpha(\cdot)$ -- функция, равная нулю везде кроме нуля и бесконечности в нуле (здесь пока что разговоры про классическую функцию, не обобщённую, но могущую принимать значение $+\infty$). Это соответствует тому, что у $\mu$ есть сингулярная компонента, сосредоточенная в одной точке.

Вообще это довольно полезный факт. Мы знаем, что любая мера раскладывается в сумму абсолютно непрерывной и сингулярной. Сингулярная компонента сосредоточена на подмножестве меры Лебега нуль. Данный результат позволяет явно указать это подмножество (точнее, один из возможных его вариантов -- оно определено с точностью до множества, у которого обе меры равны нулю): это множество, на котором двусторонняя производная функции распределения равна $+\infty$.

Если Вы можете доказать эти утверждения, как-то используя дуально слабую сходимость вместо трюков с покрытиями Витали, было бы интересно.

Если ТС не будет отвечать, то я через пару дней выпишу оставшуюся часть решения, если она не очевидна.