Реккурентный интеграл

[Abel's friend]

Всем доброго времени суток!
Среди задач по диффурам попался один диффур, в котором возник такой интеграл.

$$\int \sqrt{x^2 + 2x +3}\frac 1 {(1-x)^{88}}\ dx$$

Подстановки Эйлера ни к чему хорошему не привели...
Далее подстановка

$$\ 1-x = t$$

даёт вот что

$$\int \sqrt{x^2 + 2x +3}\frac 1 {(1-x)^{88}}\ dx = - \int \sqrt{t^2 - 4t+6}\frac 1 {t^{88}}\ dt $$

Потом

$$\ t = \frac 1 u$$

И там будет два интеграла, один из которых (второй аналогично) по рекуррентной формуле:

$$ J_{85} = \int {\frac {u^{85}} {\sqrt{6u^2-4u+1}} \\} {du} = P_{84}(x) {\sqrt{6u^2-4u+1}} + k J_0 $$

Понятное дело, что считать это нереально. Может можно как-то иначе решить?

[DeBill]

Abel's friend
Ну, можно ответ получить - в виде некой двойной суммы...Но Вам не понравится....
1. Выделяя полный квадрат под корнем, линейной заменой сведем к интегралу типа $\int\limits_{}^{}\frac{P(u)du}{\sqrt{u^2 +1}}$ (тут полезут биноминальные к-ты...)
2. Для интеграла $\int\limits_{}^{}\frac{u^n du}{\sqrt{u^2+1}}$ гиперболической подстановкой сведем все к интегралу $\int\limits_{}^{}\sh^n t dt$
3. Выражая шинус через экспоненты и открывая скобки, получим ответ....
(для нечетных $n$ можно чуть проще)

[FermaYails]

Ну хотя бы это получше смотрится, чем рассчет ответа по методу неопределенных коэффициентов...

[Abel's friend]

Спасибо!