Разложить функцию в ряд по степеням

[Omrib1]

Надо разложить функцию в ряд по степеням $1/x$ до $o(1/x^k)$:
$ f(x)=\int_{0}^{\pi/2} {e^{-xsint}dt}$
У меня только получилось разложить по степеням $x$:
Если взять $n$ производную от $f(x)$ по $x$:
$f(x)_{}^{(n)}=(-1)^{n}\int_{0}^{\pi/2} {(sint)^{n}e^{-xsint}dt}$
Тогда в точке $x=0$:
$f(0)_{}^{(n)}=(-1)^{n}\int_{0}^{\pi/2} {(sint)^{n}dt}$
А последний интеграл, как я понял, можно выразить через гамма функции.
Однако для разложения по степеням $1/x$ ничего подобного и толкового придумать не могу.

[Lia]

Omrib1 в сообщении #1356095 писал(а):

Надо разложить функцию в ряд по степеням $1/x$ до $o(1/x^k)$:

Вот это уже не в ряд, это асимптотика в окрестности. Какой точки?

[Omrib1]

Lia в сообщении #1356099 писал(а):

Вот это уже не в ряд, это асимптотика в окрестности. Какой точки?

для $x$, стремящимся к бесконечности

[Lia]

Ну вот, а Вы в нуле смотрите.

[Omrib1]

Lia в сообщении #1356102 писал(а):

Ну вот, а Вы в нуле смотрите.

Для разложения по $1/x$ я как раз и пробывал для бесконечно большого $x$, но ничего не смог придумать

[Lia]

Так хоть покажите, как пробовали. Или хотя бы расскажите.

[Omrib1]

Я сделал замену $z=1/x$ и вспомнил только, что $n$ производная от $x^{n-1}e^{1/x}$ равна $(-1)^{n}x^{-n-1}e^{1/x}$ (по индукции можно доказать), а потом, домножив и разделив на $(-sint/z)^{n-1}$, по формуле Лейбница пытался найти $n$ производную от:
$f(z)=(-sint/z)^{n-1} \int_{0}^{\pi/2} {(-z/sint)^{n-1}e^{-sint/z}dt}$
и таким образом найти коэффициенты раложения,устремив $z$ к нулю, но из-за экспоненты ничего не выходит

[Walker_XXI]

(Об обозначении синуса в формулах)

Omrib1, я так понимаю, $sint$ - это $\sin t$? Тогда исправьте, пожалуйста, а то формулы читать некомфортно. И, кстати, $(\sin t)^n$ традиционно записывается, как $\sin^n t$.

[thething]

А в каком курсе рассматривается эта задача?

Если допустимо использовать метод Лапласа, то могу порекомендовать книгу Ильин А.М, Данилин А.Р. Асимптотические методы в анализе, параграф 9. Хотя, можно и не употреблять таких словосочетаний, как "метод Лапласа", а просто взять технику получения асимптотики (она там примитивная именно для данного случая).