Циклическое пространство

[error404]

Доказать, что если линейные операторы $\mathcal{E}, \mathcal{A}, \mathcal{A}^{2}, ... , \mathcal{A}^{n-1}$, действующие на векторном пространстве $V$ размерности $n$, линейно независимы, то существует такой вектор $v \in V$, что
$V= < v,\mathcal{A} v, \mathcal{A}^{2} v, ... , \mathcal{A}^{n-1} v >$

Я пытался рассмотреть действие оператора на конкретный базис, $<e_1, ... , e_n>$
И если посмотреть что получится, если любая система $ e_i,\mathcal{A} e_i, \mathcal{A}^{2} e_i, ... , \mathcal{A}^{n-1} e_i $ будет зависима, но не смог развить эту мысль.
Еще думал, возможно попробовать по индукции, ограничив оператор на меньшее подпространство, но тут тоже не получилось сделать переход.

[mihaild]

Посмотрите, какие из независимости операторов следуют ограничения на жорданову форму $\mathcal A$.

[error404]

В Жорадновы форму пока что не умею, могу доказать в случае поля нулевой характеристики через минимальные многочлены. Там можно доказать, что существует $v$ такой что минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}$ относительно $v$ будет равен минимальному многочлену оператора $\mathcal{A}$

[vpb]

Хорошо, давайте докажите, а там посмотрим.

-- 21.11.2018, 11:16 --

mihaild
Если поле не замкнуто, жоркина форма не прокатит!