Демидович 828.

[Ivan_B]

Исходя из определения производной, непосредственно найти производную:
з) $\arcsin x$

Можно повторить доказательство теоремы о производной обратной функции, но это,скорее всего, не совсем то.
Пробовал найти разность: если $\Delta x$ достаточно мало, то $\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin(x)=\arcsin\Left(\Left(x+\Delta x\Right)\sqrt{1-x^2}-x\sqrt{1-\Left(x+\Delta x\Right)^2}\Right)$, но дальше ничего не получается.
Подскажите, пожалуйста, как решать.

[thething]

Используйте $\arcsin x=x+o(x), x\to 0$.

-- 19.11.2018, 16:22 --

Хотя изврат, конечно, гораздо проще сделать замену переменной в пределе. Ну получится вывод производной обратной функции, но по определению же..

[vpb]

Заковыристая задача, и собственно не очень нужная для понимания матана. Поэтому рассказываю вкратце готовое решение. В университете такое сейчас (и очень давно) не проходят, это я Вам точно говорю, ибо это слишком неэкономичное расходование умственных усилий. С точки зрения любопытства, делается так.

Берем формулу сложения для арксинуса $\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})$.
Величину $(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})-x$ обозначаем через $h$. Довольно ясно, что когда $y$ пробегает некоторую окрестность нуля, $h$ тоже пробегает некоторую окрестность нуля.
Формулу сложения тогда можно переписать как $\arcsin(x+h)-\arcsin x=\arcsin y$. Отсюда

$$ (\arcsin x)'=\lim_{h\to 0} \frac{\arcsin(x+h)-\arcsin x}h = \lim_{y\to 0} \frac{\arcsin y}{(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})-x}$$

Разложим предел в произведение двух пределов

$$ \lim_{y\to 0} \frac{\arcsin y}y\ \ \cdot \ \lim_{y\to 0} \frac y{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}-x}$$

Второй ясно как посчитать (умеете), а в первом надо заменить переменную $t=\arcsin y$ и свести к первому замечательному.

[Null]

Еще можно воспроизвести доказательство теоремы о производной обратной функции непосредственно для этой функции.

[Ivan_B]

Идею понял. Огромное спасибо за Ваши ответы.