Заковыристая задача, и собственно не очень нужная для понимания матана. Поэтому рассказываю вкратце готовое решение. В университете такое сейчас (и очень давно) не проходят, это я Вам точно говорю, ибо это слишком неэкономичное расходование умственных усилий. С точки зрения любопытства, делается так.
Берем формулу сложения для арксинуса

.
Величину

обозначаем через

. Довольно ясно, что когда

пробегает некоторую окрестность нуля,

тоже пробегает некоторую окрестность нуля.
Формулу сложения тогда можно переписать как

. Отсюда

Разложим предел в произведение двух пределов

Второй ясно как посчитать (умеете), а в первом надо заменить переменную

и свести к первому замечательному.