Иррациональные числа

[Vladimirkey]

Добрый день. Не могу понять одну вещь, как открыли иррациональные числа?

Вот как я себе это представляю: Изначально придумали числа вида $\frac{a}{b}$ (3) , т.е все понятно, что означало что-либо, делим на $b$ частей и из них берем $a$.
Теперь, дальнейшее развитие привело к тому, что для упрощения (сравнения дробей, сложение и т.д.) будем рассматривать дроби с десятичным основанием, к примеру, дробь $\frac{1}{10}$ (2). Затем, наверняка, данная запись не особо была удобной и тогда придумали вот такую запись того же самого числа - $0,1$ (1).
Собственно вопросы:
1) Как так случилось, что люди просто придумали запись (1) для удобства, а получилось так, что в этой записи существуют числа, которые не конвертируются в запись (2) обратно?
2) Если бы не придумали запись (1), то не открыли бы "иррациональные числа"?
3) Как вообще практически открыли иррациональные числа, если пользовались записью (3), а, точнее, как такая запись привела к тому, что есть иррациональные числа, которые в принципе представляются ТОЛЬКО в такой записи (1)?

P.S. Знаю только тот факт, что во времена Пифагора пытались измерить диагональ квадрата с его стороной. Но и тут как-то не понятно, если пифагорейцы ничего не знали о записи числа как (1), то откуда они сделали вывод, что диагональ иррациональное число, ведь практически можно к примеру взять конечно какую-нибудь вещь, принятую за единицу и приложить к диагонали квадрата и обнаружить, что целое число раз она не укладывается в диагонали, но это наводит мысль только о том, что диагональ измеряется не только целым числом но и дробным, ну никак не иррациональным. Возможно, я чего-то не понимаю, как на практике в этом убедиться и вообще прийти к тому, что есть такие числа и существуют они ТОЛЬКО в ТАКОЙ записи (запись, которую на первый взгляд придумали ради упрощения, а случилось, что есть числа, существующие ТОЛЬКО И ТОЛЬКО в такой записи).
Это удачный случай, что нам так повезло или умышленное действие записи в таком виде?

[alex55555]

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

1) Как так случилось, что люди просто придумали запись (1) для удобства, а получилось так, что в этой записи существуют числа, которые не конвертируются в запись (2) обратно?

Так случилось из-за свойства системы исчисления. В системе с любым основанием всегда число представимо как последовательный набор знаков в диапазоне между нулём и основанием. Поэтому следующий ход после появления системы состоял во введении позиции в пределах набора знаков, показывающей на сколько порядков основания поделено данное число. Соответственно обратная конвертация в (2) реализуется удалением знака, обозначающего позицию, и простановкой под разделяющей чертой основания в степени, соответствующей позиции разделителя.

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

2) Если бы не придумали запись (1), то не открыли бы "иррациональные числа"?

Иррациональные числа открыли при попытке вычислить сторону квадрата по его площади. При этом появилась потребность в операции извлечения корня, а она уже дала иррациональные числа.

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

3) Как вообще практически открыли иррациональные числа, если пользовались записью (3), а, точнее, как такая запись привела к тому, что есть иррациональные числа, которые в принципе представляются ТОЛЬКО в такой записи (1)?

Древние греки определяли число $\pi$, как значение, находящееся между двумя рациональными дробями, то есть соотношениями, в которых используются натуральные числа. То есть иррациональность, так сказать, заключалась в скобки из двух дробей.

[wrest]

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

Возможно, я чего-то не понимаю, как на практике в этом убедиться

На практике убедиться очень просто. "Классический" способ такой:
Допустим, что $1^2+1^2=\left( \dfrac{p}{m} \right)^2$ где $p,m$ - целые, не имеющие общего делителя числа (если имеют, сокращаем на него пока не перестанут иметь), то есть $p/m$ -- несократимая дробь.
Тогда $2m^2=p^2$, то есть $p^2$ - четное число. Но если квадрат числа четный то и само число четное, то есть $p=2k$ ($k$ -- целое) и $p^2=4k^2$,то есть $2m^2=4k^2$, сокращая на $2$ получаем что $m^2=2k^2$, то есть число $m$ тоже четное. Но $p$ и $m$ не могут быть одновременно четными, т.к. тогда бы у них был бы общий делитель $2$, а дробь $p/m$ у нас несократимая.

Вот так вот пифагорейцы (ну вы слыхали легенду: того кто додумался потом утопили от досады) и додумались до иррациональных чисел.

-- 12.11.2018, 16:58 --

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

ТОЛЬКО в ТАКОЙ записи (запись, которую на первый взгляд придумали ради упрощения, а случилось, что есть числа, существующие ТОЛЬКО И ТОЛЬКО в такой записи).

Запись тут вообще не при чем, дело не в записи. Рациональные числа это такие, которые можно представить (т.е. они могут быть равны) $p/m$ где $p$ и $m$ - целые (но $m \ne 0$ конечно), а иррациональные числа это такие, которые нельзя представить как $p/m$ где $p$ и $m$ - целые (но $m \ne 0$ конечно).

-- 12.11.2018, 17:08 --

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

точнее, как такая запись привела к тому, что есть иррациональные числа, которые в принципе представляются ТОЛЬКО в такой записи (1)?

У вас, мне кажется, путаница с тем, что значит "в записи". Например число $a=\sqrt{2}$ можно записать как $a^2=2, a>0$ - тут даже значок корня не нужен.

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

1) Как так случилось, что люди просто придумали запись (1) для удобства, а получилось так, что в этой записи существуют числа, которые не конвертируются в запись (2) обратно?

Как раз записать число $\sqrt{2}$ в десятичной системе вы не можете: для этого потребуется бесконечное количество цифр. Но вы также не можете записать в десятичной системе счисления и число $1/3$ -- вам так же потребуется бесконечное количество цифр.

[mihaild]

alex55555 в сообщении #1353556 писал(а):

Иррациональные числа открыли при попытке вычислить сторону квадрата по его площади

Точно так, а не диагональ по стороне? (а википедия вообще утверждает, что впервые иррациональность была доказана для отношения луча пятиконечной звезды к стороне ее внутреннего пятиугольника)

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

Если бы не придумали запись (1), то не открыли бы "иррациональные числа"?

C учетом того, что десятичные дроби придумали позже чем доказали иррациональность $\sqrt{2}$, то явно "открыли бы" (и собственно открыли, не придумав).

Кронекер писал(а):

Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека.

Мне кажется, вы сами вещественные числа с их способом записи. Числа можно записывать по-разному, и можно [конкретные числа] не записывать вообще, обходясь переменными.

[Mikhail_K]

Vladimirkey в сообщении #1353551 писал(а):

Но и тут как-то не понятно, если пифагорейцы ничего не знали о записи числа как (1), то откуда они сделали вывод, что диагональ иррациональное число, ведь практически можно к примеру взять конечно какую-нибудь вещь, принятую за единицу и приложить к диагонали квадрата и обнаружить, что целое число раз она не укладывается в диагонали, но это наводит мысль только о том, что диагональ измеряется не только целым числом но и дробным, ну никак не иррациональным.

Это Ваше предложение непонятно. Я предполагаю, что, возможно, Вы имели в виду следующее: пифагорейцы поняли, что длина диагонали квадрата (а точнее, её отношение к длине стороны) не выражается ни целым числом, ни обыкновенной дробью, откуда, по Вашей мысли, они должны были сделать вывод, что эта длина вообще не выражается никаким числом, а почему-то вместо этого решили, что выражается числом иррациональным.

На этот вопрос (если Вы именно его имели в виду) ответ прост. В математике нет понятия "число". Есть понятия "натуральное число", "целое число", "рациональное число", "вещественное число", "комплексное число", "гипердействительное число", "сюрреальное число", "$p$-адическое число" и т.д.
Пока у нас введены только, скажем, натуральные, целые и рациональные числа, будет правильно говорить, что "из $2$ нельзя извлекать корень", что "корень из двух не существует".
Но неудобно же так, когда даже длину диагонали квадрата нельзя числом выразить! Поэтому пришлось придумывать новое понятие - понятие вещественного числа - так чтобы с такими числами можно было работать примерно как с уже известными, но чтобы длину диагонали (и многое другое) ими уже можно было выразить. После того как такое понятие введено, наше понятие "число" (по-прежнему нестрогое) расширилось, включило в себя все вещественные числа, включая иррациональные (а вот это уже строго определённые понятия) и теперь мы уже называем $\sqrt{2}$ числом.

Так что вопрос "как открыли иррациональные числа?" (равно как - "как открыли комплексные числа?") - не очень корректен. Не нужно думать, что объективно есть некие "всевозможные числа", и раньше про иррациональные числа не знали, а теперь узнали. Нет, иррациональные числа понадобились для решения практических задач, и их придумали. Правда, есть здесь и то, что "открыли" - тот факт, что эти иррациональные числа можно ввести не абы как, а настолько удобно, чтобы все привычные свойства рациональных чисел у них были и все приёмы работы с числами по-прежнему работали.

[alex55555]

mihaild в сообщении #1353573 писал(а):

alex55555 в сообщении #1353556 писал(а):

Иррациональные числа открыли при попытке вычислить сторону квадрата по его площади

Точно так, а не диагональ по стороне?

Да, возможно не то вспомнил. Принципиально здесь использование корней, а в какой конкретно момент и при каких обстоятельствах потребовался человечеству первый корень - вопрос весьма тёмный.

[grizzly]

alex55555 в сообщении #1353742 писал(а):

Принципиально здесь использование корней, а в какой конкретно момент и при каких обстоятельствах потребовался человечеству первый корень - вопрос весьма тёмный.

Но не настолько же, чтобы не ответить на него с точностью $\pm 1500$ лет. (Вавилоняне примерно на 1500 лет раньше упомянутых греков имели понятие корня, а первые успешные попытки присвоить этому понятию обозначения были предприняты примерно на 1500 лет позже тех же греков.)

Стартовое сообщение напрочь убивает охоту участвовать в подобном обсуждении, но скажу хотя бы, что ТС было бы весьма полезно получить хоть какое-то представление об исторической связи понятий и их обозначений. Или, на худой конец, забыть свои.

[arseniiv]

Тут насчёт древней математики (не всей, но многого) как-то советовали Пробуждающуюся науку Ван дер Вардена.

[Евгений Машеров]

Ну, как мне представляется.
Первичная запись дробей как раз в виде $\frac m n$ (а ещё более ранняя, египетская, в виде суммы $\frac 1 n$). Причём это сугубо прикладное представление - "разделить 7 хлебов на 9 работников", причём "египетская форма" в виде суммы дробей с числителем единица оттого, что разделить на n равных частей, а главное - убедить неграмотных крестьян, что деление честное, проще, чем разделить хлеб в отношении $\frac 7 9$. И пока ограничивались простейшими задачами, этого хватало. Потом появилось строительство и гидротехника, как раз в Вавилоне, понадобились вычисления (а ещё астрономия и неотделившаяся от неё тогда астрология). Вавилоняне изобрели позиционную систему (с основанием 60, мы её до сих пор юзаем при счёте времени и углов в градусной мере). Появилась запись в виде дробей в позиционной системе, но никаких "иррациональных" не было в силу сугубой прикладной направленности вавилонской математики. Корни они считали, но задача была, скажем "Отставному воину положен от царя в награду за службу участок земли такой-то, сообразно чину и выслуге лет, площади, и воин желает квадратный, какова сторона квадрата?". То есть достаточно вычислить с точностью до землемерного циркуля, в других задачах точность иная, но везде ограниченная. Вычисления до заданного числа знаков, и бесконечно долго не продолжаются, обрываем по достижении нужной точности.
Потом математикой занялись греки. У которых были рабы (а значит, много свободного времени у граждан, которое они убивали не столько математикой и вообще философией, сколько сутяжничеством, но так как адвокатов не было - греки были воистину мудрые люди - в судах выступали сами тяжущиеся, и владение логикой было важным преимуществом, которое надо было нарабатывать). Хотя прикладные задачи были, и то же землемерие сиречь γεωμετρία, и мореплавание, но строгость рассуждений они отрабатывали именно на математике. Причём главная математика для них была именно геометрия, числа представлялись длинами отрезков. Но одновременно была и арифметика, в которой числа были отношениями. И вот тут они и обнаружили, что есть отрезки, которые нельзя выразить отношением целых чисел. Поскольку математика была связана не только с философией, но и с религией, это было "божественное откровение". Которое надо было не усвоить рассудком, ratio, а постичь, как Высшую Мудрость. Поэтому "иррациональные" или "невыразимые". Они рассматривались отдельно от обычных чисел, Евдокс разработал теорию сравнения величин (понимая под этим длины отрезков), и только в средние века пришли к пониманию, что это тоже числа.
А представление десятичными дробями это XVII век, Симон Стевин, бухгалтер Вильгельма Оранского, закрыватель Вечного Двигателя и изобретатель Адской Машины. Бухгалтеры - они такие...

[novichok2018]

Понятно, что вводили математики а не простой народ. Есть такая логичная точка зрения- числа расширялись тогда, когда не хватало запаса для выполнения операций, обратных к элементарным. Были положительные и сложение, хватало, обратная операция вычитание, получились отрицательные. Были целые и умножение, хватало, обратная операция деление, получились рациональные. Были рациональные и возведение в степень, хватало, обратная операция корни, появились иррациональные. Этот ряд можно и дальше в более сложные вещи вести, на функции, интегралы, и так до тета-функций дойти и далее.

[arseniiv]

novichok2018 в сообщении #1354246 писал(а):

Есть такая логичная точка зрения- числа расширялись тогда, когда не хватало запаса для выполнения операций, обратных к элементарным.

Если бы всё было так просто, математика бы так медленно до определённого времени не развивалась.

-- Чт ноя 15, 2018 19:52:09 --

Потом, точно известно, что положительные рациональные числа появились раньше отрицательных.

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #1354222 писал(а):

Которое надо было не усвоить рассудком, ratio

Стоп, почему слово не греческое?

[Евгений Машеров]

Видимо, потому, что дошло через латынь. У греков был λόγος, а вот почему перевели не verbum и не транслитерировали - не знаю. Могли бы быть "алогичные числа" или "невербальные". Возможно, подобные термины уже были и имели иной смысл.

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #1354926 писал(а):

У греков был λόγος

Спасибо, это я и спрашивал.