Помогите разобраться с доказательством утверждения

[wrest]

Otta в сообщении #1354545 писал(а):

$k$ - это не решение. Решать в исходной постановке задачи особо нечего, это Вы поставили себе другую. $k$ это в точности значение отношения,

Да, неправильное слово употребил, не решение, конечно.

-- 16.11.2018, 18:52 --

ragnarek в сообщении #1354532 писал(а):

А вот по поводу подъема не понятно, как это делается Тут нам надо теперь подставить большее число вместо меньшего? В этом фишка?

Да, и так получается, что существует как "подъем" так и "спуск".
Например от $8$ "подъем" ведет к $30$ а "спуск" ведет к $2$.

[Otta]

wrest в сообщении #1354548 писал(а):

Да, неправильное слово употребил, не решение, конечно.

Не в слове печаль.

[wrest]

Otta в сообщении #1354545 писал(а):

В Википедии доказательство занимает один абзац.

В Википедии, в одном из вариантов доказательства, к сожалению, пропущен важный момент, там не показано когда именно возникает противоречие из-за того что $k$ не квадрат. В англоязычной Википедии он есть, а в русскоязычной его нет. А именно, вывод о том что второй корень не равен нулю (и значит есть дальнейший спуск), делается из того что (в обозначениях Википедии) $x_2=B^2-k \ne 0$, но то, что равенство нулю может быть только когда $B^2=k$ то есть когда $k$ - квадратное число, в русскоязычной Вики опущен.

Otta в сообщении #1354545 писал(а):

Вы вводите человека в заблуждение: к исходному доказательству Ваш текст не имеет отношения.

Ну мы не знаем какое доказательство является "исходным": там же, в Вики, если вы посмотрите, есть и доказательство (этой же задачи) спуском до нуля, в разделе "Геометрическая интерпретация". Там фиксируется какое-то $k$, которое в конце спуска оказывается квадратом.

[ragnarek]

Otta в сообщении #1354545 писал(а):

В Википедии доказательство занимает один абзац. Можно прочитать и спросить, что непонятно. Кажется, Вам предлагали.

Я к сожалению доказательство в Вики совсем не понимаю
Не могу уловить смысл логической цепочки "если $x_2 + B < A + B$, то это противоречит минимальности решения, и поэтому ответ- квадрат". Даже не знаю где тут задать вопрос, потому что я сам принцип не понимаю.

[Otta]

ragnarek
Это первое место, которое Вы не понимаете? До этого все понятно?

[ragnarek]

Otta в сообщении #1354568 писал(а):

Это первое место, которое Вы не понимаете? До этого все понятно?

Да, остальное понятно. Мне не ясно, почему обнаружение того факта, что второй корень квадратного уравнения меньше, чем в выбранной функции $A + B$ доказывает, что наше утверждение о наличии решения, не являющегося полным квадратом, является ложным.

[Otta]

От противного. Предположим, что найдется пара целых положительных $(a, b)$ и положительный неквадрат $k$, такие что $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k$. (*)

В силу симметричности всегда можно считать, что $a\ge b$. Если такая пара единственна, возьмем ее. Если нет, из всех таких пар выберем ту, у которой сумма параметров наименьшая. Назовем ее наименьшей и обозначим $(A,B)$.

Итого: $(A,B)$ - пара с наименьшей суммой $A+B$, удовлетворяющая (*), $A\ge B$.
Т.е. $\dfrac{A^2+B^2}{AB+1}=k$, $k$ - натуральное не квадратное.

Дальше следуем пп. 3-4 по ссылке, которые Вам понятны. Получаем, что в предположении, что $k$ - не квадрат, найдется пара $(x_2,B)$, удовлетворяющая (*), но меньшая, чем наименьшая. Значит, это предположение неверно.

----
Я, в общем, просто переписываю доказательство, фактически.

-- 17.11.2018, 14:37 --

wrest в сообщении #1354563 писал(а):

Ну мы не знаем какое доказательство является "исходным":

Я говорю только о том, что не стоит раньше времени отвлекаться на поиски серий, а доказывать исходное утверждение. Именно его доказательство я и назвала "исходным" )
А так их было 11 :) разных.
В сети найти можно попытки воссоздать. Доказательство из Вики - попытка идейной реконструкции д-ва болгарского участника (Emanouil Atanassov), за которое он получил специальный приз.
Источник: Djukić, D., Matić, I., Janković, V., Petrović, N., The IMO Compendium: A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004, New York: Springer-Verlag, 2006, p. 505.

[ragnarek]

Otta
Извините, но я все равно не понимаю. Я уже задавал этот вопрос дважды, но повторю еще раз. Что если в условии было бы сказано "докажите, что ответом будет не квадратное число".
Тогда методом от противного мы аналогично предполагаем, что есть ответ квадрат и приходим к точно такому же выводу (но на этот раз что ответом не может быть квадрат). Я понимаю что в моем рассуждении есть ошибка, но я не могу понять где она. Вот это объясните пожалуйста

[Shadow]

ragnarek в сообщении #1354738 писал(а):

Что если в условии было бы сказано "докажите, что ответом будет не квадратное число".
Тогда методом от противного мы аналогично предполагаем, что есть ответ квадрат и приходим к точно такому же выводу

не сможем прийти к противоречию и доказательство от противного не состоится.

-- 17.11.2018, 15:06 --

ragnarek кажется вы не понимате решение, потому что воспринимаете $k$ - результат деления как переменную. Нет $k$ - это некоя константа. $k=13$

Решаем уравнение в натуральных числах $\dfrac{x^2+y^2}{xy+1}=13$

Есть множество решений данного уравнения, являющееся подмножеством множества натуральных чисел.

У любого непустого множества натуральных чисел есть минимальный элемент.
Доказываем, что у этого множества нет минимального элемента. Следовательно оно пустое.

Оказывается, что подобное доказательсво можно провести не только для $13$, но и для всех нат. чисел, не являющиеся квадратами.

[ragnarek]

Shadow,

Shadow в сообщении #1354739 писал(а):

не сможем прийти к противоречию и доказательство от противного не состоится.

Покажите, пожалуйста, сам процесс? У меня ступор именно в этом. В чем принципиальное отличие в предположении о том, что есть не квадратный ответ от того, что есть квадратный ответ?

[Lia]

ragnarek
Приведите собственные попытки подобного доказательства, пожалуйста. Образцы есть.

[ragnarek]

Нам дали задачу "доказать, что если выражение $ab + 1$ делит выражение $a^2 + b^2$ без остатка при целых $a$ и $b$, то результатом будет всегда не квадратное число".
Решаем от противного. Предположим, что есть такие $A$ и $B$, при которых отношение равно квадратному числу. Например, девяти. Рассмотрим решение $(A,B)$, минимизирующее значение $A + B$. Заменяем $A$ на $x$ и получаем квадратное уравнение $x^2 - (9B)x + (B^2 - 9) = 0$. Первый корень $x_1$ равен $A$. Второй корень можно выразить через формулы Виета. $x_2 = 9B - A = \frac{B^2 - 9}{A}$.
Из первого выражения для $x_2$ следует, что $x_2$ является целым числом, а из второго — что $x_2 \not = 0$.
Из $A \ge B$ следует, что $x_2 = \frac{B^2 - 9}{A} < A$ и поэтому $x_2 + B < A + B$, что противоречит минимальности решения $(A,B)$. Значит, решения, равного девяти, не существует.

[Otta]

ragnarek в сообщении #1354854 писал(а):

а из второго — что $x_2 \not = 0$

Почему?

[ragnarek]

Otta
Теперь понял... Для случая когда k квадрат, второй корень может быть равен 0

[Otta]

Да, и противоречия не будет. Зато мы сможем получить пару, на которой выполнено равенство. И многократно эксплуатируя эту идею, получим много разновидностей таких пар, что уже здесь было продемонстрировано.