Степень гладкого отображения

[Slav-27]

Пусть $M$ и $N$ связные компактные ориентированные многообразия без края одной размерности $n$, $f:M\to N$ гладкое отображение, $\omega$ -- дифференциальная форма старшей степени на $N$. Тогда, как известно, $\int\limits_M f^*\omega =\operatorname{deg}f\int\limits_N\omega$, где $\operatorname{deg}f$ -- степень отображения $f$.

Хочется иметь следующее обобщение этого утверждения. Пусть $M$ и $N$ как выше и имеется гладкое отображение $f:M\times(0,1]\to N\times B$, где $B$ -- замкнутый шар какой-то размерности радиуса $1$, причём $f_r(M)\subset N\times B_r$, где $f_r:M\to N\times B$ -- это ограничение $f$ на $M\times\{r\}$, а $B_r\subset B$ -- это подшар радиуса $r\leqslant 1$ с тем же центром. Обозначим $\operatorname{deg}f$ степень отображения $f_r$ (она не зависит от $r$, потому что они гомотопны).

Пусть теперь $\omega$ -- какая-то форма степени $n$ на $N\times B$ (не обязательно замкнутая).

Верно ли, что $\lim\limits_{r\to+0}\int\limits_M f_r^*\omega=\operatorname{deg}f\int\limits_{N}\omega$?

---- Это было бы верно, если бы отображения $f_r$ стремились к какому-нибудь пределу при $r\to 0$, так что отображение $f$ продолжалось бы гладко на $M\times[0,1]$ и выполнялось бы включение $f_0(M)\subset N\times \{0\}$. Это следует из утверждения, которое я написал в начале (сходимость на компактном $M$ равномерна, поэтому предел и интеграл можно переставлять). Проблема в том, что $f_r$ не обязательно имеют предел; а надежда происходит из того, что интеграл по $N$ вдоль отображения $M\to N$ зависит только от степени, а степень постоянна, так что хотя $f_0$ и не обязательно существует, но его образ должен быть в $N\times \{0\}$ и степень какая надо.

Для замкнутых $\omega$ утверждение верно в любом случае, это следует из теоремы Стокса (или из определения степени, как кому нравится); для замкнутой формы $\int\limits_Mf_r^*\omega$ от $r$ вообще не зависит.

Но что делать с незамкнутыми? Надо оценивать интеграл от разности $f_r^*(\omega-p^*\omega)$, где $p:N\times B\to N\times\{0\}$ -- проекция на первый множитель. Я написал всё в координатах для простейшего случая $M=N=S^1$ и 1-мерного $B$. Вроде бы получится, хотя и с заклинаниями...

Но можно ли доказать просто? Написано ли где-нибудь доказательство этого утверждения? И верно ли оно вообще?

[g______d]

Slav-27 в сообщении #1354469 писал(а):

$f_r:M\to N\times B$ -- это ограничение $f$ на $M\times\{r\}$, а $B_r\subset B$ -- это подшар радиуса $r\leqslant 1$ с тем же центром. Обозначим $\operatorname{deg}f$ степень отображения $f_r$ (она не зависит от $r$, потому что они гомотопны)

А как определяется $\deg f_r$?

[Slav-27]

g______d в сообщении #1354517 писал(а):

А как определяется $\deg f_r$?

А, да, забыл написать. Как степень композиции с проекциею на $N$, то есть как степень отображения $M \xrightarrow{f_r} N\times B \xrightarrow{\mathrm{pr}_1} N$.

[g______d]

Мне кажется, что неверно. Сначала попытка доказательства: пусть $p$ -- проекция, как Вы её определили, $i\colon N\to N\times B$ вложение. Тогда можно сравнить две формы: $\omega$ и $p^{\ast}i^{\ast}\omega$. Понятно, что для $p^{\ast}i^{\ast}\omega$ утверждение верно, поэтому весь вопрос в том, можно ли оценить разность $\omega$ и $p^{\ast}i^{\ast}\omega$. В силу компактности она равномерно стремится к нулю при $r\to 0$ на $N\times B_r$ -- в том смысле, что если мы как-то с помощью локальных координат введём $C$-норму на формах, то эта норма будет стремиться к нулю при условии, что мы всё сузили на $M\times B_r$.

Но теперь проблема: форма очень маленькая, но мы никак не контролируем объём подмногообразия $f(M)$, по которому мы её фактически интегрируем. Вопрос: можем ли мы, непрерывно деформируя $f(M)$, увеличивать интеграл фиксированной формы по $f(M)$? Тот факт, что $r$ меняется, не принципиален, можно считать, что мы меняем $f$ намного быстрее, чем сужается область. Пусть $M=N=S^1$, а $\omega$ устроена так: существует последовательность замкнутых контуров $C_n\subset N\times B_{1/n}$, таких что $\int_{C_n}\omega>0$, и $C_n$ гомотопен нулю. Ясно, что это очень слабое условие, которое выполняется для любой формы, не замкнутой ни в какой окрестности $r=0$. Тогда можно взять $f_{1/n}=g(n) C_n$ (в смысле что мы $g(n)$ раз обходим контур $C_n$), где $g(n)$ растёт быстрее, чем $(\int_{C_n}\omega)^{-1}$. Между точками $1/n$ отображение $f$ всегда можно непрерывно интерполировать, поскольку единственное препятствие к этому -- негомотопность нулю $C_n$.

[vpb]

Отмечу, что когда образ $f_r$ несамопересекающийся (не знаю, как это точно сформулировать) для каждого $r$, утверждение верно. Скажем, для рассматриваемого случая двух окружностей указанный образ при $r\to 0$ может загибаться или складываться в гармошку, но чтоб не появлялось петелек. Доказательство следует из теоремы Стокса (получается интеграл от дифференциала 1-формы по области, площадь которой стремися к нулю). А если петельки таки есть, то получается ровно то, что g______d написал.

[g______d]

vpb в сообщении #1354673 писал(а):

Доказательство следует из теоремы Стокса (получается интеграл от дифференциала 1-формы по области, площадь которой стремися к нулю).

Если шар $B$ размерности 2 и выше, то мне кажется, что возможен пример с несамопересекающимся контуром: вместо того, чтобы обходить много раз одну кривую $C_n$, можно каждый виток чуть-чуть сдвигаться в перпендикулярном направлении, двигаясь по очень сплющенной винтовой линии, а потом вернуться в исходную точку по короткому пути.

[vpb]

g______d в сообщении #1354677 писал(а):

Если шар $B$ размерности 2 и выше, то мне кажется, что возможен пример с несамопересекающимся контуром

Да, верно. Я подразумевал простейший случай, отображение из окружности в кольцо на плоскости. В общем же случае играют роль какие-то вещи типа чисел зацепления и т.д., в которых я не разбираюсь.

[Slav-27]

Спасибо за ответы! Итак, утверждение неверно. Я слишком обобщил. Спасибо высказавшимся, вы помогли мне понять, где я заблуждался.

Изначально мне хотелось посчитать индекс "поля единичных векторов" с помощью интегрирования какой-то не очень понятной формы $\omega$, живущей в тотальном пространстве расслоения единичных векторов. Поэтому меня заинтересовало следующее утверждение, являющееся частным случаем неверного утверждения из первого поста:

(Оффтоп)

Пусть $S$ -- $n$-мерная сфера, $B$ -- $(n+1)$-мерный шар (радиуса $1$), $v:B\setminus \{0\}=S\times(0,1]\to S$ -- гладкое отображение, $\omega$ -- $n$-форма на $B\times S$. Обозначим, как раньше, $v_r$ сужение $v$ на $S\times \{r\}$, $\operatorname{deg}v:=\operatorname{deg}v_r$ (степень не зависит от $r$, поскольку они гомотопны). Обозначим $i_r:S\to B$ вложение $S$ как сферы радиуса $r$ с тем же центром, что и у шара $B$.

Рассмотрим теперь 2 отображения из $S$ в $B\times S$, а именно $i_r\times v_r=:f_r$ и $0\times\mathrm{id}=:f_0$ (где первый $0$ обозначает отображение $S$ в центр шара $B$).

Верно ли, что $\lim\limits_{r\to +0} \int\limits_S f_r^*\omega =\operatorname{deg}v \int\limits_S f_0^*\omega$?

Скорее всего, это тоже неверно. Впрочем, мне для вычисления индекса это неважно, потому что $v$ можно изменить так, чтобы, например, $v$ имело предел при $r\to 0$ (например, положить $v_r=v_{\frac12}$ при $r\leqslant \frac12$). Для такого специального поля $v$ вышеприведённое утверждение будет верно, а индекс не поменяется.

Ниже следует неудачная попытка (её я упоминал в 1-м посте) доказать вышеприведённое утверждение для произвольного $v$ в случае 1-мерной $S$. Теперь я не верю, что из этой попытки что-то путное получится, но она уже записана и, может быть, будет кому-нибудь интересна.

(Оффтоп)

Итак, $n=1$. Пусть $\alpha$ -- угловая координата на $S$, $x,y,\varphi$ -- координаты на $B\times S$ (то есть $B$ рассматриваем как подмножество плоскости, заданное неравенством $x^2+y^2\leqslant 1$, а $\varphi$ -- угловая координата на множителе-окружности), $\omega=\omega_x(x,y,\varphi)dx+\omega_y(...)dy+\omega_\varphi(...)d\varphi$, отображение $f_r$ переводит $\alpha\mapsto (r\cos \alpha, r\sin\alpha,v_r(\alpha))$, $f_0:\alpha\mapsto(0,0,\alpha)$.

Нужно посчитать $\int\limits_S f_r^*(\omega_x dx+ \omega_y dy + \omega_\varphi d\varphi)$
$=\int\limits_S d\alpha\left[-\omega_x(r\cos\alpha, r\sin\alpha,v_r(\alpha))r\sin\alpha + \omega_y(...)r\cos\alpha+\omega_\varphi(...)v_r' (\alpha) \right ]$.

Интеграл от первых 2 членов стремится к $0$, потому что при $r\to 0$ они равномерно сходятся к $0$ ($\omega$ определена на компактном множестве, поэтому её коэффициенты равномерно ограничены по модулю). Разберёмся с 3-м членом.

Пусть $C_r\subset S$ -- это множество критических значений отображения $v_r$. Оно замкнуто, так как всё компактно. Тогда $S\setminus C_r$ -- это объединение непересекающихся интервалов $I_{r\gamma}$ (считаем, что $C_r$ непусто, но это несущественно). По теореме Сарда это объединение имеет полную меру.

Прообраз каждого интервала $I_{r\gamma}$ относительно $v_r$ состоит из конечного количества интервалов $I_{r\gamma i}$. Обозначим $v_{r\gamma i}$ сужение $v$ на такой интервал; это диффеоморфизм на $I_{r\gamma}$. Поэтому $\int\limits_S \omega_\varphi(...) v_r'(\alpha)d\alpha=\int\limits_{S\setminus v_r^{-1}(C_r)}... =\sum\limits_\gamma\sum\limits_i\operatorname{sgn}v_{r\gamma i}' \int\limits_{I_{r\gamma}}\omega_\varphi(r\cos(v_{r\gamma i}^{-1}(y)),r\sin(v_{r\gamma i}^{-1}(y)),y)dy$. Каждый интеграл в этом выражении сходится к интегралу от $\omega_\varphi(0,0,y)$ (ограничим на большой отрезок в $I_\gamma$, на отрезке сходимость будет почему-то там равномерная, а интеграл по остатку маленький, потому что коэффициенты $\omega$ равномерно ограничены).

А дальше плохо. Если бы $\bigcup\limits_{0<r\leqslant 1} C_r$ было замкнуто, то можно было бы рассматривать его вместо $C_r$ и переходить к пределу $r\to 0$ во всей сумме, и всё бы получилось, так как оно разбивало бы окружность на интервалы, объединение которых имело бы полную меру. Однако $\bigcup C_r$ может быть не только не замкнутым, а хоть даже всюду плотным (можно выбрать $v_{1/n}$ так, чтобы у него было конечное количество каких угодно критических значений, и проинтерполировать).

Ещё можно было бы написать $\operatorname{deg} v\int\limits_S\omega_\varphi(0,0,y)dy=(\sum\limits_i \operatorname{sgn}v_{r\gamma i}')\int\limits_S\omega_\varphi(0,0,y)dy=\sum\limits_\gamma\sum\limits_i \operatorname{sgn}v_{r\gamma i}'\int\limits_{I_\gamma}\omega_\varphi(0,0,y)dy$ и пытаться оценить модуль разности, но тут тоже ничего не получится, потому что хотя при фиксированном $\gamma$ индекс $i$ пробегает только конечное множество значений, но на количество этих знчений никакого ограничения нет: можно выбрать $v_{1/n}$ так, что их будет сколько угодно, и проинтерполировать...

[vpb]

Утверждение неверно. Контрпример строится так.
Пусть $I=[0;1]$, $S_1$ и $S_2$ --- два экземпляра $S^1$, и $K=S_1\times I$ --- "кольцо".
Лемма. Существует гладкая 1-форма $\omega$ на $K$, и гладкое отображение $f\colon S^1\times (0;1]\longrightarrow K$,
со следующими свойствами:
1) Степень композиции $p\circ f_r$ равна 1, где $p$ --- проекция $K$ на $S_1$, а $f_r(x)=f(x,r)$;
2) $f_r(S^1)\subseteq S_1\times[0,r]$, $\forall\ r\in(0;1]$;
3)

$$\ds \int_{S^1}f^\ast_r\omega$$

не стремится к нулю при $r\to 0$;
4) а также можно считать, что $\omega(x,0)=0$, и, более того, $\omega(x,r)=O(r^t)$, для любого $t\geq0$ (т.е. $\omega$ быстро убывает, когда точка приближается к внутренней (условно говоря) граничной окружности кольца $K$).

Доказательство по существу описано выше. QED

Теперь рассмотрим пространство $E_1=S_2\times K=S_2\times S_1\times I$. Пусть $\omega_1$ --- 1-форма на $E_1$, которая в $K$-компоненте совпадает с $\omega$, а по $S_2$ нулевая. Т.е. $\omega_1=q^\ast\omega$, где $q\colon E\longrightarrow K$ --- проекция.

Далее, рассмотрим пространство $E=B^2\times S_1$, т.е. полноторие. Заметим, что $B^2$ может быть получено из произведения $S_2\times I$ "склеиванием" всех точек вида $(x,0)$, где $x\in S_2$. Говоря по другому, рассмотрим отображение $\alpha\colon S_2\times I\longrightarrow B^2$, переводящее пару $(x,y)$ в точку на плоскости с полярными
координатами $\varphi=x$, $r=y$.

Возьмем композицию

$$\widetilde\alpha\colon E_1=S_2\times S_1\times I\cong S_2\times I\times S_1\stackrel{\alpha\times{\rm id}}\longrightarrow B^2\times S_1=E. $$

В окрестности любой точки, $I$-координата которой отлична от $0$, это диффеоморфизм. Определим форму $\omega_2$ на $E$ тем, что на точках центральной окружности полнотория $\omega_2=0$, а в остальных точках соответствует форме $\omega_1$ относительно диффеоморфизма $\alpha\times{\rm id}$. Тогда можно показать, что $\omega_2$ --- гладкая 1-форма на $E$.

Наконец, для $r>0$ определим $g_r\colon S^1\longrightarrow S_2\times S_1\times I$ как $g_r(x)=(x,f_r(x))$, и $h_r=\widetilde \alpha\circ g_r\colon S^1\longrightarrow E$.

Если я ничего не перепутал, то форма $\omega_2$ и семейство отображений $h_r$ --- это и есть контрпример.