Полярное множество

[Grom Hellscream]

Помогите, пожалуйста, разобраться с полярными преобразованиями.
Пусть есть тело в аффинном пространстве $C \subset \mathbb{R}^n$, содержащее нуль. К нему применяется аффинное преобразование $D$ и нужно выяснить, как преобразуется полярное тело.
По определению, полярное тело -- это множество точек $\{ (u_1,\ldots, u_n)\in \mathbb{R}^n ^* \mid u_1x_1+\ldots +u_nx_n\leqslant 1, (x_1,\ldots,x_n)\in C \} $ Если преобразование D линейное обратимое $A$, то полярным преобразованием будет обратное линейное $A^{-1}$, но что делать в случае если оно необратимо или содержит сдвиг?

[DeBill]

Grom Hellscream в сообщении #1353968 писал(а):

полярным преобразованием будет обратное линейное $A^{-1}$,

Разве? Разве не транспонированное?

(Оффтоп)

Полярное тело лежит в сопряженном пространстве. Там обратное к $D$ не действует, там работает сопряженное к $D$.

[mihaild]

DeBill в сообщении #1353990 писал(а):

Разве? Разве не транспонированное?

Ну скажем если $A$ тождественно нулевое, то полярное тело из чего-то нетривиального превратится во всё пространство.

Поэтому шансов получить что-то хорошее для необратимых $A$ (лучшее, чем "прообраз относительно ...") нет.

[Grom Hellscream]

DeBill в сообщении #1353990 писал(а):

Grom Hellscream в сообщении #1353968 писал(а):

полярным преобразованием будет обратное линейное $A^{-1}$,

Разве? Разве не транспонированное?

(Оффтоп)

Полярное тело лежит в сопряженном пространстве. Там обратное к $D$ не действует, там работает сопряженное к $D$.

Ну я имел в виду, что вид преобразования $D'$, такого, что $D'(C^*) = (DC)^*$. И утверждаю, что если $A$ - матрица отображения $D$ (линейного обратимого) в фиксированном базисе, то $A^{-1}$ будет матрицей преобразования $D'$ в двойственном базисе. Разве это не так?

И вообще непонятно, что делать если аффинное преобразование $D$ является сдвигом.

[mihaild]

Grom Hellscream в сообщении #1354040 писал(а):

то $A^{-1}$ будет матрицей преобразования $D'$ в двойственном базисе. Разве это не так?

У нас было пересечение всех полупространств вида $(\vec u, \vec x) \leqslant 1$, а стало пересечение всех полупространств $(\vec u, D \vec x) \leqslant 1$. Т.к. $(\vec u, D \vec x) = (D^* \vec u, \vec x)$, то $u$ лежит в старом полярном теле тогда и только тогда, когда $u\prime = \left(D^*\right)^{-1} u$ лежит в новом.

[DeBill]

mihaild
А, ну да, конечно: надо брать полный прообраз для сопряженного линейного отображения....

Grom Hellscream в сообщении #1354040 писал(а):

что делать если аффинное преобразование $D$ является сдвигом.

А, типа, ничего хорошего ожидать не приходится - ибо сдвиг структуру линейного пространства совершенно не уважает, а "полярность" - атрибут как раз линейного пространства.
Поэкспериментируйте со сдвигами единичного круга на плоскости - ничего приличного там не видно...