Собственные функции оператора кинетической энергии

[DewDrop]

Добрый день!
Определить собственные значения и собственные функции оператора кинетической энергии $ \hat{T_x} = {\hat {p_x}^2/2m} $.
Для оператора импульса $p_x $ я нашел отдельно СФ и СЗ значения, но там был дифур первого порядка, здесь же второй порядок. В лекциях говорили, что поскольку эти операторы коммутируют, то у них совпадает набор собственных функций, но ведь как то же СФ должна измениться? Как решать?

[ewert]

DewDrop в сообщении #784648 писал(а):

но ведь как то же СФ должна измениться?

Что значит "должны измениться"? Просто у оператора энергии спектр двукратен, а у импульса -- однократен. Вот "собственные функции" (которых вообще-то в точном смысле не существует) оператора энергии и получаются как произвольные линейные комбинации соответствующих функций для импульса.

[DewDrop]

А что будет с набором СЗ?

[DimaM]

DewDrop в сообщении #784670 писал(а):

А что будет с набором СЗ?

В квадрат возведутся и на $2m$ поделятся.

[Freude]

Можно в лоб решить:
$\hat{T}_x |t>=T_t|t>$ и $\hat{p}_x |i>=p_i|i>$ $$|t>=\sum_{i}<i|t>|i>$$ $$\hat{T}_x \sum_{i}<i|t>|i>=T_t\sum_{i}<i|t>|i>$$ $$ \sum_{i}\frac{1}{2m}<i|t>\hat{p}_x\hat{p}_x|i>=T_t\sum_{i}<i|t>|i>$$ $$\sum_{i} \frac{p_i}{2m} <i|t>\hat{p}_x |i>=T_t\sum_{i}<i|t>|i>$$ $$ \sum_{i}\frac{p^2_i}{2m} <i|t> |i>=T_t\sum_{i}<i|t>|i>$$
Умножим уравнение слева на один из собственных векторов оператора импульса $<j|$.
Свойство ортогональности позволит избавиться от суммы через свойство дельта-функции:
$\frac{p^2_j}{2m} <j|t> =T_t<j|t>$
Отсюда $T_t=\frac{p^2_j}{2m}$ если $<j|t>\neq0$

[DewDrop]

Freude, спасибо!

[edge]

ewert в сообщении #784657 писал(а):

Что значит "должны измениться"? Просто у оператора энергии спектр двукратен, а у импульса -- однократен. Вот "собственные функции" (которых вообще-то в точном смысле не существует) оператора энергии и получаются как произвольные линейные комбинации соответствующих функций для импульса.

Добрый вечер! Для случая трех измерений собственная функция оператора энергии будет представлять собой интеграл(непрерывный спектр) или бесконечный ряд(дискретный спектр) из собственных функций оператора импульса?

[Munin]

Скорее интеграл. В пространстве импульсов $(p_x,p_y,p_z)$ при заданной энергии $E=\mathrm{const}$ мы имеем сферу. И вот по этой сфере может быть как-то задана комплекснозначная функция. С ней и придётся интегрировать. Но конечно, могут быть такие случаи в каких-то задачах, что эта функция имеет вид "почти всюду ноль", и быть ненулевой только на каких-то линиях или в каких-то точках, в которых она будет дельта-образной. Тогда надо будет интегрировать по линиям и суммировать по дискретным точкам.

[edge]

Munin в сообщении #1353644 писал(а):

И вот по этой сфере может быть как-то задана комплекснозначная функция. С ней и придётся интегрировать.

То есть интеграл не будет выглядеть подобным образом
$\varphi(r)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}C(p)e^{(\frac{ipr}{\hbar})}dp$
ведь тогда интегрирование будет идти по всем возможным значениям импульса (абсолютным значениям)? А нужно, вроде как, интегрировать по одному абсолютному значению импульса, но разным направлениям...

[Munin]

Интеграл будет по $\iiint (\ldots)\,\delta(\sqrt{\mathbf{p}^2}-p_0)\,d^3\mathbf{p},\quad p_0=\sqrt{2Em}$ (в нерелятивистском случае), и в полярных координатах, соответственно, $\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi_p\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta_p\,(\ldots|_{p=p_0}).$

[edge]

Munin в сообщении #1353670 писал(а):

Интеграл будет по $\iiint (\ldots)\,\delta(\sqrt{p^2}-p_0)\,d^3p,\quad p_0=\sqrt{2Em}$ (в нерелятивистском случае)$[/math]

Спасибо. А в координатном представлении подобный интеграл, являющийся собственной функцией оператора энергии, возможно записать? Как-то так будет:

$$\varphi(q)=\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}...e^{\frac{i\sqrt{p^2}r}{\hbar}}dp^3$$

?

[Munin]

Нет, у вас должно быть честное

$$e\biggr.^{\dfrac{i\mathbf{p r}}{\hbar}}=e\biggr.^{\dfrac{i(p_x x+p_y y+p_z z)}{\hbar}}\Biggr|_{\textstyle\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}=p_0}$$

А то что это за $e^{\frac{i\sqrt{p^2}r}{\hbar}}$? Это не плоская волна, а какая-то сферически-симметричная функция, здесь потеряна информация о направлении вектора $\mathbf{p}.$

-- 13.11.2018 10:04:21 --

Математики иногда пишут выражения типа $pr,$ никак не обозначая, что там подразумеваются векторы. В традициях физиков обозначать векторы и скаляры по-разному, стрелочкой $\vec{p}$ или шрифтом $\mathbf{p},\boldsymbol{p},$ чтобы использовать скалярное обозначение для модуля того же вектора $p=|\mathbf{p}|.$

Собственно, я виноват, выше надо было написать $\ldots\delta(\sqrt{\mathbf{p}^2}-p_0),$ щас поправлю.

-- 13.11.2018 10:14:25 --

Munin в сообщении #1353670 писал(а):

в полярных координатах, соответственно, $\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi_p\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta_p\,(\ldots|_{p=p_0}).$

Здесь собственная функция будет выглядеть как

$$e\biggr.^{\dfrac{i\mathbf{p r}}{\hbar}}=e\biggr.^{\dfrac{i\bigl((p_0\cos\theta_p\cos\varphi_p)x+(p_0\cos\theta_p\sin\varphi_p)y+(p_0\sin\theta_p)z\bigr)}{\hbar}}.$$

[edge]

Munin в сообщении #1353701 писал(а):

Нет, у вас должно быть честное

$$e\biggr.^{\dfrac{i\mathbf{p r}}{\hbar}}=e\biggr.^{\dfrac{i(p_x x+p_y y+p_z z)}{\hbar}}\Biggr|_{\textstyle\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}=p_0}$$

Спасибо. А чем тогда будет отличаться интеграл по всем возможным значениям импульса (разным по абсолютной величине и направлениям) от интеграла по одному абсолютному значению импульса, но разным направлениям в координатном представлении, если так записать:

$$\varphi(q)=\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}...e\biggr.^{\dfrac{i\mathbf{p r}}{\hbar}}dp^3$$

или так

$$\varphi(q)=\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}\int\limits_{}^{}...e\biggr.^{\dfrac{i\mathbf{\sqrt{p^2} r}}{\hbar}}dp^3$$

?

[Munin]

Вы понимаете, что квадрат вектора - скаляр, и корень из него - тоже скаляр?

-- 13.11.2018 11:48:30 --

А экспоненты от вектора не бывает...

[edge]

Munin в сообщении #1353714 писал(а):

Вы понимаете, что квадрат вектора - скаляр, и корень из него - тоже скаляр?
-- 13.11.2018 11:48:30 --

Понимаю.Не понимаю, как будут различаться интегралы, когда речь идет об интегрировании по всем возможным значениям и направлениям импульса, от интеграла, когда речь идет об интегрировании по одному и тому же абсолютному значению импульса, но разным направлениям в координатном представлении. Поэтому у меня возникла мысль, что возможно в последнем случае будет бесконечный ряд, а не интеграл.
Ведь линейная комбинация должна быть решением уравнения на собственные функции оператора энергии, а там при дифференцировании под знаком интеграла получается $p^2$, эту переменную же не вынести за знак интеграла.