2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 00:06 


12/03/18
22
Всем доброго времени суток!
Такой вопрос. Является ли необходимым условием сходимости несобственного интеграла (скажем от некоторого a до бесконечности) от некоторой неотрицательной функции равенство нулю предела функции на бесконечности?
Если да, то не мог бы кто-нибудь, привести ссылку на литературу, где доказывается это утверждение (желательно для техвузов, если нет - просто математическую).

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 00:18 


05/09/16
12070
Abel's friend
Странный вопрос. Вы же в курсе, что например интеграл $\int\limits_1^\infty \dfrac{dx}{x}$ расходится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 00:19 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
wrest, необходимое условие в общем случае не является достаточным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 00:21 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Abel's friend в сообщении #1346008 писал(а):
Является ли необходимым условием сходимости несобственного интеграла

Вообще говоря, нет, не является; пример достататочно легко сочинить, типа: ступеньки на высоте 1, малой ширины...
Однако, при дополнительном условии монотонности функции - да, является, и легко доказывается - это совсем простое утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 00:22 


05/09/16
12070
Pphantom в сообщении #1346012 писал(а):
wrest, необходимое условие в общем случае не является достаточным.
А, конечно, сорри. :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 04:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10059
DeBill в сообщении #1346013 писал(а):
Вообще говоря, нет, не является; пример достататочно легко сочинить, типа: ступеньки на высоте 1, малой ширины...

Можно даже улучшить этот пример, "ухудшив" функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение14.10.2018, 08:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Abel's friend
Для непрерывных функций контрпример есть в Гелбауме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение15.10.2018, 12:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Abel's friend в сообщении #1346008 писал(а):
Является ли необходимым условием сходимости несобственного интеграла (скажем от некоторого a до бесконечности) от некоторой неотрицательной функции равенство нулю предела функции на бесконечности?

Это не может быть необходимым по тривиальным причинам: интеграл не контролирует значений функции в отдельных точках -- лишь в среднем. И вот, скажем, стремление к нулю именно в среднем (например, по удаляющимся отрезкам единичной длины) -- условие, очевидно, необходимое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение15.10.2018, 23:29 


12/03/18
22
Всем большое спасибо за ответы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение15.10.2018, 23:44 
Заслуженный участник


29/08/13
286
Для рядов справедливо утверждение о том, что для сходимости общий член ряда необходимо должен стремиться к $0$. Несобственно-интегральным аналогом такого утверждения в данном контексте будет фраза: значение интеграла по отрезку длины $1$ должно стремиться к нулю, если сам этот отрезок уходит на бесконечность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимое условие сходимости несобственного интеграла
Сообщение10.11.2018, 22:54 


12/03/18
22
Всем большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group