Необходимое условие сходимости несобственного интеграла

[Abel's friend]

Всем доброго времени суток!
Такой вопрос. Является ли необходимым условием сходимости несобственного интеграла (скажем от некоторого a до бесконечности) от некоторой неотрицательной функции равенство нулю предела функции на бесконечности?
Если да, то не мог бы кто-нибудь, привести ссылку на литературу, где доказывается это утверждение (желательно для техвузов, если нет - просто математическую).

[wrest]

Abel's friend
Странный вопрос. Вы же в курсе, что например интеграл $\int\limits_1^\infty \dfrac{dx}{x}$ расходится?

[Pphantom]

wrest, необходимое условие в общем случае не является достаточным.

[DeBill]

Abel's friend в сообщении #1346008 писал(а):

Является ли необходимым условием сходимости несобственного интеграла

Вообще говоря, нет, не является; пример достататочно легко сочинить, типа: ступеньки на высоте 1, малой ширины...
Однако, при дополнительном условии монотонности функции - да, является, и легко доказывается - это совсем простое утверждение.

[wrest]

Pphantom в сообщении #1346012 писал(а):

wrest, необходимое условие в общем случае не является достаточным.

А, конечно, сорри.

[Dan B-Yallay]

DeBill в сообщении #1346013 писал(а):

Вообще говоря, нет, не является; пример достататочно легко сочинить, типа: ступеньки на высоте 1, малой ширины...

Можно даже улучшить этот пример, "ухудшив" функцию.

[thething]

Abel's friend
Для непрерывных функций контрпример есть в Гелбауме.

[ewert]

Abel's friend в сообщении #1346008 писал(а):

Является ли необходимым условием сходимости несобственного интеграла (скажем от некоторого a до бесконечности) от некоторой неотрицательной функции равенство нулю предела функции на бесконечности?

Это не может быть необходимым по тривиальным причинам: интеграл не контролирует значений функции в отдельных точках -- лишь в среднем. И вот, скажем, стремление к нулю именно в среднем (например, по удаляющимся отрезкам единичной длины) -- условие, очевидно, необходимое.

[Abel's friend]

Всем большое спасибо за ответы!

[VanD]

Для рядов справедливо утверждение о том, что для сходимости общий член ряда необходимо должен стремиться к $0$. Несобственно-интегральным аналогом такого утверждения в данном контексте будет фраза: значение интеграла по отрезку длины $1$ должно стремиться к нулю, если сам этот отрезок уходит на бесконечность.

[Abel's friend]

Всем большое спасибо!