Классификация структур

[alex55555]

Сложно для новичка собрать в голове кучу алгебраических понятий. Есть алгебры с унарной операцией, есть с бинарной. Есть структуры с одной операцией и несколькими. Есть ограничения на свойства операций (ассоциативность, коммутативность, обратный, нулевой, единичный элементы и т.д.). Есть для всех этих (и множества других) понятий некий математические названия (группа, кольцо, моноид, решётка и т.д.). Есть куча различных модификаторов выше обозначенного с признаками типа замкнутости, конечности или ещё чего-нибудь. Суммарно всё выше перечисленное есть некие классификации математических структур, но с разных позиций, с разных точек зрения, с использованием разных правил классификации. В целом получается большая система сложно (многообразно) классифицируемых понятий. Со стороны это напоминает беспорядок в химических элементах до введения таблицы Менделеева.

Может всё же есть где-то своя "таблица Менделеева" для всех этих пока (как я, не владея предметом, вижу) слабо классифицированных базовых элементов? Хотя таблица, видимо, будет слишком примитивной для такого разнообразия (или не родился ещё правильны Менделеев?), но тогда может какая-то схема в виде графа деревьев/семейств или ещё чего-то? Как без таких опорных классификаторов математики разбираются со всеми своими группами и подгруппами? Все сотни вариантов просто зазубривают? Или как-то более осмысленно их представляют?

[alcoholist]

alex55555 в сообщении #1352388 писал(а):

Может всё же есть где-то своя "таблица Менделеева"

С трудностями -- по мере появления. Все перечисленные объекты возникали не по причине разгула фантазии математиков, а по мере необходимости. И если открытый Менделеевым "периодический закон" есть основа современной химии, то подобные таблицы-схемы-графы в математике бессмысленны, не отражают никакой объективной реальности.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1352388 писал(а):

Со стороны это напоминает беспорядок в химических элементах до введения таблицы Менделеева.

Смотря кому. Тут уже упорядочивать дальше некуда. Разве что можно было бы сменить традиционные названия «группа», «кольцо» и т. д. на что-то, описывающее однозначно набор операций и аксиомы. Но это породит названия по типу названий веществ по номенклатуре ИЮПАК — длинные и для широкоиспользуемых веществ не используемые. А расположить алгебраические структуры в линию как элементы не получится, там всё ведь совсем не так; из них максимум можно устроить граф (если каждая структура одного типа является и структурой другого типа, стрелку между этими типами). Ну и некоторые вещи просто сложны от природы, их уже некуда упрощать, их надо просто изучать не всей кучей, а постепенно.

alex55555 в сообщении #1352388 писал(а):

Может всё же есть где-то своя "таблица Менделеева" для всех этих пока (как я, не владея предметом, вижу) слабо классифицированных базовых элементов?

Кстати штуки типа таблицы Менделеева больше смысла рассматривать по отношению к другим вещам. Бывает можно свести описание большого класса структур к описанию не очень большого более простых, из которых сложные получаются несложными операциями, вот эти-то простые классифицируют и получают, например, классификацию конечных простых групп.

alex55555 в сообщении #1352388 писал(а):

Все сотни вариантов просто зазубривают?

Не думаю, что интересных сейчас математикам алгебраических структур прям сотни, плюс каждый человек не интересуется всеми сразу, плюс вот те отношения, когда одна структура есть сразу и ещё несколько других одновременно, упрощают дело.

[Munin]

alex55555 в сообщении #1352388 писал(а):

Может всё же есть где-то своя "таблица Менделеева" для всех этих пока (как я, не владея предметом, вижу) слабо классифицированных базовых элементов?

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure
https://en.wikipedia.org/wiki/Outline_of_algebraic_structures

Там есть картинок типа:

[alex55555]

alcoholist в сообщении #1352424 писал(а):

подобные таблицы-схемы-графы в математике бессмысленны, не отражают никакой объективной реальности.

Почему не отражают? В математике повсюду видим структуры, начиная от чисел и далее через все виды и мыслимые рассуждения о группах и всём с ними связанном. В структурах всегда есть что-то общее, поскольку все они есть суть производные от некоего минимума при помощи некоторых операций. Все перестановки, вращения, умножения, сложения и т.д. - лишь шум на фоне основ. Основа чисел - единица. Применяем к единице операцию сложения - получаем всю остальную математику. Основа тривиальна. А всё остальное - комбинаторный взрыв в следствии операций над основой. Но и комбинировать основы можно по разному. Можно брать какие-то примеры из жизни и копать их "вглубь", то есть двигаться по дороге продолжения комбинирования, углубляясь именно в количество перестановок и прочего, рассматривая их со всех сторон и пытаясь увидеть общее именно в оном узком направлении. Но узость направления не даёт широты взгляда. И можно охватить все направления, но неглубоко, потому что жизни не хватит на все перестановки всех структур. При этом будет шире база для обобщений. На порядки шире (хотя бы в сто раз). Выделили, например, теорию категорий - вот как раз получился вариант "междисциплинарного" подхода, но в рамках одной дисциплины.

Пока вижу лишь три составляющие - множество, элемент, операция. Всё остальное - специфика области приложения составляющих. Но и эта специфика имеет свою структуру. И вот её-то как раз (на мой неподготовленный взгляд) и не хватает. А мне бы (как и многим изучающим математику) очень помогла подобная классификация. Единица и операция сложения породили возможность для введения операции умножения и деления, которые породили понятие простого числа, которое задало структуру для числового ряда. Вот как-то так же и со структурой всего связанного с группами должно быть.

Кстати, изучение всех видов структур с операциями - это алгебра? Или алгебры? Или ещё какое-то название? Даже здесь напрашивающаяся основа не видна тем, кто начинает изучать математику.

-- 08.11.2018, 17:26 --

arseniiv в сообщении #1352439 писал(а):

из них максимум можно устроить граф (если каждая структура одного типа является и структурой другого типа, стрелку между этими типами). Ну и некоторые вещи просто сложны от природы, их уже некуда упрощать, их надо просто изучать не всей кучей, а постепенно.

Сложность-то комбинаторная. То есть комбинаций множеств может быть бесконечное количество, но основа при этом минимальна - множества, элементы, операции. Значит на вершине иерархии видим лишь три понятия. А далее идёт уточнение для конкретных приложений. Как в этом случае классифицировать - я не знаю (охвата совершенно нет).

arseniiv в сообщении #1352439 писал(а):

Кстати штуки типа таблицы Менделеева больше смысла рассматривать по отношению к другим вещам. Бывает можно свести описание большого класса структур к описанию не очень большого более простых, из которых сложные получаются несложными операциями, вот эти-то простые классифицируют и получают, например, классификацию конечных простых групп.

Да, примерно как-то так. Правда очевидная проблема здесь вот такая:

Цитата:

As of 2018, seven volumes of the second generation proof have been published (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005). In 2012 Solomon estimated that the project would need another 5 volumes, but said that progress on them was slow.

12 томов доказательств - это как-то слишком для классификации.

-- 08.11.2018, 17:28 --

Munin в сообщении #1352459 писал(а):

Там есть картинок типа:

Да, спасибо, это тоже хорошее начало. Осталось в таком же ключе "углУбить и расширить" :)

[Munin]

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

Пока вижу лишь три составляющие

Это потому что

alex55555 в сообщении #1352388 писал(а):

как я, не владея предметом, вижу

Наберётесь опыта - начнёте разбираться в тонкостях.
(Для начала, операции бывают разной арности, они принимают операнды из разных множеств, и дают результаты в разных множествах.)

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

А мне бы (как и многим изучающим математику) очень помогла подобная классификация.

На самом деле, математике нужна не классификация. Математике нужна полезность идей. А для этого они должны быть связаны с уже доказавшими полезность примерами.

Например, разберитесь, какие множества и операции участвуют в таких конструкциях:
- натуральные числа;
- целые числа;
- рациональные числа;
- действительные числа;
- алгебра векторов (на плоскости или в 3-мерном пространстве);
- алгебра матриц фиксированного размера $n\times n$;
- алгебра матриц размеров $n\times n,n\times 1,1\times 1,1\times n$;
- алгебра тензоров размерности $n$;
- булева алгебра;
- алгебра подмножеств фиксированного множества...

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

Кстати, изучение всех видов структур с операциями - это алгебра? Или алгебры?

Некоторые математические термины используются в двух значениях:
- в единственном числе - как название раздела науки, сферы деятельности учёного: алгебра, геометрия, статистика...
- во множественном числе - как название конкретной математической структуры: алгебры, геометрии, статистики...
Так что, раздел математики "алгебра" занимается алгебрами - но не только ими.

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

Основа чисел - единица. Применяем к единице операцию сложения - получаем всю остальную математику.

Философствуя, легко наделать ошибок. Применяя к единице операцию сложения, можно получить только систему натуральных чисел. Для всей остальной математики нужны другие действия и объекты.

[studak]

А может ли кто-нибудь скинуть красивое иерархическое древо структур?
В смысле именно картиночку.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

12 томов доказательств - это как-то слишком для классификации.

Я бы сказал, надо радоваться, что она вообще возможна.

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

То есть комбинаций множеств может быть бесконечное количество, но основа при этом минимальна - множества, элементы, операции. Значит на вершине иерархии видим лишь три понятия.

Мне не нравится, что вы зациклились на «множества, элементы, операции». Элементы берутся из носителя, их не нужно отдельно указывать. Сам же носитель (или носители) тоже можно отдельно не выделять, потому что он в принципе восстанавливаеся по операциям.

studak в сообщении #1352694 писал(а):

А может ли кто-нибудь скинуть красивое иерархическое древо структур?

Древо не получится, получится в лучшем случае граф «подтипирования», которое я упоминал выше, но и то с этим будут сложности.

[alex55555]

Munin в сообщении #1352681 писал(а):

операции бывают разной арности, они принимают операнды из разных множеств, и дают результаты в разных множествах.

Да, но в общем это всё же именно операции, множества, элементы. Далее можно выделить арность операций, разделить множество множеств на составляющие (то есть элементы в данном контексте). А лучше выразить это через свойства (не создавая новых сущностей) - операции имеют свойство арности, выражающееся в произвольном количестве операндов; множества имеют свойство "тип объектов" и свойство "размер" (мощность?). В таком разрезе очевидно, что операция есть то же самое множество, с тем же свойством - включать произвольное количество объектов некоторых типов, но это множество расширено свойством "результат", так же имеющим некий тип.

Munin в сообщении #1352681 писал(а):

На самом деле, математике нужна не классификация. Математике нужна полезность идей. А для этого они должны быть связаны с уже доказавшими полезность примерами.

Да, тоже создаётся впечатление ненужности столь большого разнообразия. Но на примере мат.анализа понятно, что нужно пройти все эти пределы и бесконечно малые, что бы потом перейти к производным и интегралам, полезность которых ни у кого сомнений не вызывает (среди инженеров, как минимум). Поэтому было бы просто прекрасно, если бы за каждым направлением алгебры стоял некий список областей применимости. Хотя про группы пишут о применимости в физике, кристаллографии, генерации псевдослучайных последовательностей и т.д. Но обычно это общий и неполный список, мол вообще куда-то туда вам когда-нибудь может потребоваться сходить. С точки зрения практика было бы, безусловно, удобнее, если бы список был полнее и обязательно делился бы по направлениям внутри алгебры.

Munin в сообщении #1352681 писал(а):

Например, разберитесь, какие множества и операции участвуют в таких конструкциях:
- натуральные числа;
- целые числа;
- рациональные числа;
- действительные числа;
- алгебра векторов (на плоскости или в 3-мерном пространстве);
- алгебра матриц фиксированного размера $n\times n$;
- алгебра матриц размеров $n\times n,n\times 1,1\times 1,1\times n$;
- алгебра тензоров размерности $n$;
- булева алгебра;
- алгебра подмножеств фиксированного множества...

А какие операции допустимо применять в данном списке? В смысле для натуральных чисел недопустим выход в отрицательную область, но ещё древние греки этот момент легко обходили добавляя "а здесь меньше на 100", тем самым заменяя понятие отрицательного числа обращением шкалы в торону "меньше".

Поэтому, если вы именно подобного рода ограничения имели в виду, я и спрашиваю - можно ли их обходить "древнегреческой" логикой?

И насчёт множеств ситуация похожая. Хотя если исходить из определений приведённых понятий и ограничить допустимые множества лишь теми, которые включают элементы только лишь заданных понятий, тогда ответ сразу будет содержаться в ваших вопросах. То есть множество натуральных чисел (и его подмножества) используется при работе с натуральными числами, множество целых при работе с целыми и т.д.

Munin в сообщении #1352681 писал(а):

Философствуя, легко наделать ошибок. Применяя к единице операцию сложения, можно получить только систему натуральных чисел. Для всей остальной математики нужны другие действия и объекты.

Да, но я пользовался "древнегреческой" логикой :)

После множества применений операции сложения получаем множество, включающее большое количество единиц. Далее мы вольны делать с ним всё, что захотим, но оставаясь в рамках понятий "множество, операция, единица". Поэтому нам ничто не мешает задать операцию выделения произвольного подмножества. От подмножества мы переходим к обозначению так же произвольно введённого понятия "число" (в данном случае - идентификатор элемента, то есть подмножества во множестве подмножеств), которое характеризует введённые ранее подмножества с точки зрения количества их элементов. Далее можно задать операцию умножения - взять одно подмножество и создать на его основе такое количество копий, которое равно количеству элементов в другом множестве (множителе). Результат можно объединить в новое подмножество множества натуральных чисел. Далее вводим обратную операции умножения операцию деления, которая из подмножеств делимого и делителя получает новое множество в виде объединения делимого и делителя, а если количество элементов делимого кратно количеству элементов делителя, можно добавить ещё и результат в виде очередного подмножества. Если результат не кратен делителю, тогда мы получаем "дробь" - одну из форм представления результата деления. Если после введения дополнительных операций (например - корни) получаем иррациональное число в качестве результата, то нам опять ничто не мешает представить его в виде двух бесконечных множеств "делителя" и "делимого", второе будет равно бесконечной степени произвольно выбранной базы (например - 10), а первое - бесконечному количеству единиц, но эти бесконечности не равны друг другу, а их соотношение даёт нам иррациональное число.

В общем - можно построить математику, пользуясь только единицей, множеством и начать с одной операции :)

И кстати, математики (ну или составители учебников математики) тоже многие операции считают "само собой разумеющимися" (или думают, что студенты сами разберутся). Поэтому то, что я упустил подробное обоснование вывода математики из трёх понятий, можно списать на заражение "привычками математиков к сокращению" :)

-- 09.11.2018, 18:06 --

arseniiv в сообщении #1352713 писал(а):

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

12 томов доказательств - это как-то слишком для классификации.

Я бы сказал, надо радоваться, что она вообще возможна.

Не стоит ждать милости от природы... Как-то так хочется ответить :)

arseniiv в сообщении #1352713 писал(а):

Мне не нравится, что вы зациклились на «множества, элементы, операции». Элементы берутся из носителя, их не нужно отдельно указывать. Сам же носитель (или носители) тоже можно отдельно не выделять, потому что он в принципе восстанавливаеся по операциям.

Я не могу отделаться от привычек практика. На практике всегда нужно представлять, что это за элементы, с которыми мы работаем. И носители откуда берутся - тоже нужно знать. Хотя с точки зрения получения математического результата действительно можно абстрагироваться от элементов и множеств. Тогда, возможно, имеет смысл представить тройку понятий "уголком", то есть в корне - элемент (и для понимания и для практиков), под ним - множество, а справа от элемента - операция. Ну а правее операции - математика. Но корень в земном, а не в абстрактном - в элементе. Хотя - это подход практика :)

[Slav-27]

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

Кстати, изучение всех видов структур с операциями - это алгебра? Или алгебры? Или ещё какое-то название?

Это теория алгебраических систем: универсальная алгебра. Она соседствует с математическою логикою.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

В общем - можно построить математику, пользуясь только единицей, множеством и начать с одной операции :)

В некотором смысле можно построить всю математику, начав с одного только пустого множества (и имея на вооружении терию множеств).

Вас, видимо, интересуют основания математики. И вы далеко не первый, кого они интересуют. Поэтому там уже напридумывали такую уйму всякого! Соответственно, шансов придумать что-либо новое у вас практически нет.

Так что если действительно интересно, поизучайте эту науку. Или просто поболтать желаете?

-- 09.11.2018, 18:37 --

К сожалению или к счастью, алгебраических систем слишком много и они слишком разные, чтобы их можно было классифицировать, например, с помощью таблицы.

Что там все алгебраические системы; возьмём группы. Никакой полной классификации у них нет. Более того, доказано, что в некотором разумном смысле такая классификация принципиально невозможна.

Есть классификация для некоторого очень специального класса: для простых конечных групп. Она сложнее таблицы Менделеева. Над её созданием работали десятки математиков.

-- 09.11.2018, 18:59 --

Задача классификации всех алгебраических систем, разумеется, безумно сложнее задачи класификации групп: можно рассматривать группу из $n$ элементов как тип алгебраических систем с $n$ 0-арными операциями, у которых композиции определяются законом умножения в группе, ну или что-нибудь в этом роде.

[Munin]

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Да, но в общем это всё же именно операции, множества, элементы.

Вы смотрите "слишком в общем". Математика так не делается. Математика занимается обобщением чего-то конкретного.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Да, тоже создаётся впечатление ненужности столь большого разнообразия.

Что значит "тоже"? У меня не создаётся.
На самом деле, это разнообразие нужно. Если не нужно лично вам - нужно другим людям. Вот и занимайтесь изучением предмета, пока не поймёте.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Поэтому было бы просто прекрасно, если бы за каждым направлением алгебры стоял некий список областей применимости.

Он реально и стоит.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Поэтому, если вы именно подобного рода ограничения имели в виду, я и спрашиваю - можно ли их обходить "древнегреческой" логикой?

Я не имел в виду ограничений, я имел в виду ровно то, что произнёс.

Если "древнегреческая логика" позволяет вам не делать упражнений, а заниматься болтовнёй, на этом мы расстаёмся. Болтуны здесь не нужны, как и везде.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Поэтому нам ничто не мешает задать операцию выделения произвольного подмножества.

Это уже новая операция. Нарушено условие задачи.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

В общем - можно построить математику, пользуясь только единицей, множеством и начать с одной операции :)

Здесь помогают разобраться с тем, что есть, а не придумывать что-то своё.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

И кстати, математики (ну или составители учебников математики) тоже многие операции считают "само собой разумеющимися" (или думают, что студенты сами разберутся).

Ровно наоборот, они всё тщательно и явно дефинируют.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Я не могу отделаться от привычек практика.

Привычки практика - это решать поставленные задачи. У вас привычек практика нет.

[arseniiv]

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Я не могу отделаться от привычек практика. На практике всегда нужно представлять, что это за элементы, с которыми мы работаем.

Ну чистая математика в этом ничем не отличается, разве что уровнем, на котором применяется эта идея: когда мы хотим уместить в голове какое-то понятие, надо найти примеры вещей, входящих в него, как оно связано с другими и прочее, в этих связях общий смысл и польза понятия и лежит, и пользу обобщения не всегда видно, пока не рассмотришь достаточно конкретных реализаций. Просто обычно к моменту введения понятия человек уже знает бо́льшую часть нужных примеров и видит пользу и связи прям сразу, а если нет, то можно свалить вину на неправильную логистику изучения (или курс плохо построили, или он сам неправильно себе выбрал дорогу).

Так что от сложности тут никуда не уйти, а справиться с ней как и в любом случае помогают последовательность и терпение, ведь почти никогда нельзя получить всё и сразу, ну и царского пути в геометрию нет. Есть царский в том смысле, что всё ещё попадаются и иногда являются популярными подустаревшие в прозрачности изложения, но оптимизировать беспредельно тут нельзя, некоторая сложность всегда останется, и иногда внушительная. Плюс так как времени и ресурсов у нас пока не бесконечно, обычно приходится где-то жертвовать аккуратностью и срезать углы: например, определять многие вещи в линейной алгебре через координаты (и маяться с некоторыми доказательствами — но если делать всё бескоординатно, дорога окажется длиннее, несмотря на улучшения). Потому не надо думать, что современной алгебре чего-то не хватает: это такая громадная охапка теорий, что лучше не делать о ней заявлений, зайдя даже не по щиколотку.

Теперь ещё про конкретность. На самом деле в конечном итоге всё в (современной) математике утыкается в аксиоматические определения вида «утка — это то, что вот так выглядит и вот так крякает», так что наивный редукционизм «я пойму нечто, только представив его как структуру из более простых вещей» особого смысла не имеет — он не доводит до некоторого самоочевидного источника, он обрывается рано или поздно. Кроме того этот подход не гарантирует понятности, нам всё равно приходится рассматривать связь с другими вещами чтобы понять. Это практически определение понимания — возможность манипулировать вещью в голове как угодно.

И я уверен, что аккуратная практика ничем особенно не отличается от теории. Она отличается тем, что задачи приходят из реальности от людей, и кучей следствий из этого, вот и всё.

[Someone]

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Да, но в общем это всё же именно операции, множества, элементы. Далее можно выделить арность операций, разделить множество множеств на составляющие (то есть элементы в данном контексте). А лучше выразить это через свойства (не создавая новых сущностей) - операции имеют свойство арности, выражающееся в произвольном количестве операндов; множества имеют свойство "тип объектов" и свойство "размер" (мощность?). В таком разрезе очевидно, что операция есть то же самое множество, с тем же свойством - включать произвольное количество объектов некоторых типов, но это множество расширено свойством "результат", так же имеющим некий тип.

Извините, но это невнятный текст, которому трудно придать смысл.

alex55555 в сообщении #1352889 писал(а):

Поэтому было бы просто прекрасно, если бы за каждым направлением алгебры стоял некий список областей применимости.

Это безнадёжно. Понятие группы было сформулировано французским математиком Эваристом Галуа в 30-е годы XIX века, когда он изучал разрешимость алгебраических уравнений в радикалах. Как в то время можно было догадаться, что это понятие понадобится физикам? А сейчас группы используются не только в множестве областей физики и математики. Понятие группы адекватно формализует общее понятие симметрии, и в таком качестве оно может встретиться буквально где угодно. Кстати, могу порекомендовать следующую книгу: А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве. "Наука", Москва, 1972.

[nya]

Более-менее есть только группы, кольца, кольца (алгебры) ли и модули. Группы - это обобщенные 'симметрии объекта', алгебры ли - это обобщенные 'дифференцирования объекта', кольца - это обобщенные 'функции на объекте', модули - это обобщенные 'векторные расслоения' (множества всех 'векторных полей') на объекте. Я об этом так думаю.

-- 10.11.2018, 03:19 --

alex55555 в сообщении #1352671 писал(а):

Кстати, изучение всех видов структур с операциями - это алгебра? Или алгебры? Или ещё какое-то название? Даже здесь напрашивающаяся основа не видна тем, кто начинает изучать математику.

Универсальная алгебра или теория категорий.

-- 10.11.2018, 03:25 --

arseniiv в сообщении #1352916 писал(а):

например, определять многие вещи в линейной алгебре через координаты (и маяться с некоторыми доказательствами — но если делать всё бескоординатно, дорога окажется длиннее, несмотря на улучшения)

Хотелось бы пример, я глубоко убежден что по-крайней мере в линейно алгебре уж точно любое бескординатное доказательство короче и понятнее любого координатного.

[arseniiv]

Имелись в виду не отдельные доказательства, а и всё, что они требуют (все определения, все нужные для их корректности другие доказательства и определения). Вообще это было больше пессимистичной оценкой — мне будет самому глубоко приятно, если всякая «правильно» описанная до какого-то места теория в результате занимает меньше места, чем любая «неправильно» описанная теория, описанная в том же объёме.