Что-то не могу сообразить простую, судя по всему, вещь. Бывает, что ступор в голове...
![Sad :-(](./images/smilies/icon_sad.gif)
Речь о производных от эллиптических интегралов (никогда раньше с ними не сталкивался, как-то не пришлось):
![$$
E(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}d\alpha \, ,
$$ $$
E(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}d\alpha \, ,
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/3/6533429ca817cab15333318b994fe64f82.png)
![$$
K(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}d\alpha \, .
$$ $$
K(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}d\alpha \, .
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/9/b99ab95bc7e4c2a19754b1e50800959682.png)
С производной от
![$E(k)$ $E(k)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/7/0b73f1dfec99f4698e9399208969619d82.png)
никаких проблем, в пару строчек получается формула из книжки:
![$$
dE(k)/dk=[E(k) - K(k)]/k \, .
$$ $$
dE(k)/dk=[E(k) - K(k)]/k \, .
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/e/beeef79c39e966c2122d1e70f1bf6fa682.png)
Но вот с производной от
![$K(k)$ $K(k)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/7/e571dcb2e5c5c397356511a08a1dc61782.png)
...
![$$
\frac{dK(k)}{dk}= \frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{k^2\sin^2\alpha}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha
$$ $$
\frac{dK(k)}{dk}= \frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{k^2\sin^2\alpha}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/f/1ef634519a4171103fb7e6273e7e27f382.png)
Понятно, прибавляем и вычитаем единицу в числителе, получается одно слагаемое
![$-k^{-1}K(k)$ $-k^{-1}K(k)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/2/b727b7645367aa4a0c320a8ac07aef6c82.png)
(как в книжке) а второе
![$$
\frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{1}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha
$$ $$
\frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{1}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/c/4ecdb0cc96e16360ed279428124d57f482.png)
Судя по ответу в книжке, надо числитель умножить на
![$1-k^2$ $1-k^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/8/1a8d652b661248973ae958a484c22bdd82.png)
(а обратную величину вынести), тогда получится
![$E(k)$ $E(k)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/7/0b73f1dfec99f4698e9399208969619d82.png)
. Но убей меня бог, если я вижу как это получится... Подскажите, если можно.
P.S. На самом деле мне нужны другие интегралы, лишь похожие на возникающий здесь. Я просто тренируюсь. Думаю, если выясню, как здесь делается, то соображу что делать с моими интегралами.