Эллиптические интегралы и их производные

[Alex-Yu]

Что-то не могу сообразить простую, судя по всему, вещь. Бывает, что ступор в голове...

Речь о производных от эллиптических интегралов (никогда раньше с ними не сталкивался, как-то не пришлось):

$$ E(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}d\alpha \, , $$

$$ K(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}d\alpha \, . $$

С производной от $E(k)$ никаких проблем, в пару строчек получается формула из книжки:

$$ dE(k)/dk=[E(k) - K(k)]/k \, . $$

Но вот с производной от $K(k)$...

$$ \frac{dK(k)}{dk}= \frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{k^2\sin^2\alpha}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha $$

Понятно, прибавляем и вычитаем единицу в числителе, получается одно слагаемое $-k^{-1}K(k)$ (как в книжке) а второе

$$ \frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{1}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha $$

Судя по ответу в книжке, надо числитель умножить на $1-k^2$ (а обратную величину вынести), тогда получится $E(k)$. Но убей меня бог, если я вижу как это получится... Подскажите, если можно.

P.S. На самом деле мне нужны другие интегралы, лишь похожие на возникающий здесь. Я просто тренируюсь. Думаю, если выясню, как здесь делается, то соображу что делать с моими интегралами.

[thething]

См. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, п. 511 (у меня издание 2016 года). Там в сноске тождество, из которого всё и следует.

[Alex-Yu]

thething в сообщении #1352359 писал(а):

См. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, п. 511 (у меня издание 2016 года). Там в сноске тождество, из которого всё и следует.

Нашел, спасибо.

[thething]

Alex-Yu в сообщении #1352413 писал(а):

И где его взять этого Фихтенгольца?

Не думал, что это проблема (вроде лежит в открытом доступе).

Вот то тождество: $(1-k^2\sin^2\alpha)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{1-k^2}(1-k^2\sin^2\alpha)^\frac{1}{2}-\frac{k}{1-k^2}\frac{d}{d\alpha}(\sin\alpha\cos\alpha(1-k^2\sin^2\alpha)^{-\frac{1}{2}})$.

Фихтенгольц пишет, что его "легко проверить", а как до него изначально догадаться, я без понятия)

-- 07.11.2018, 19:08 --

thething в сообщении #1352420 писал(а):

Нашел, спасибо.

Ну вот, а я старался, набирал.. Ну пусть будет)

[Alex-Yu]

thething в сообщении #1352420 писал(а):

Фихтенгольц пишет, что его "легко проверить", а как до него изначально догадаться, я без понятия)

Нашел уже. Проверить без проблем. Но вот как догадаться... Ладно, и так сойдет.

[Alex-Yu]

thething в сообщении #1352359 писал(а):

Там в сноске тождество, из которого всё и следует.

У Фихтенгольца здесь, кстати, опечатка. Но на интеграл она не влияет.