Cauchy integral

[Asalex]

Уважаемые формучане, какое поведение на бесконечности по $k$ у интеграла

$$F(k) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(s) ds}{s-k},$$

в зависимости от класса функции $f(s)$?
Минимальное требование на $f(s),$ это чтобы сходился интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(s) d s}{s}.$
Можно думать о следующих классах функций:

[1.] $f(s)$ ограничена и осциллирует, например $f(s)=\cos(s).$
[2.] $f(s)$ убывает как $\frac{1}{s},$ например $f(s)=\frac{s}{s^2+1}.$
[3.] $f(s)$ убывает как $\frac{1}{s^2}.$

В третьем случае

$$F(k)=-\dfrac{1}{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(s)ds + \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{s f(s) ds}{k(s-k)},$$

и значит $F(k)=\mathcal{O}(\frac{1}{k}).$ (Если потребовать еще сильнее убывание от $f(s)$ , то можно сказать что второй член порядка $\mathcal{O}(\frac{1}{k^2})),$ то есть можно выделить главный член асимптотического разложения.

Вопрос: что можно сказать в первых двух случаях? Мое предположение, что

$$F(k)=\mathcal{O}(\frac{1}{k}),\quad k\to\infty, \arg k \in \pm(\varepsilon, \pi-\varepsilon),$$

$$F(k)\asymp f(k) ,\quad k\to\infty, \arg k \in \pm(-\varepsilon, \varepsilon), \quad \arg k \in \pm(\pi-\varepsilon, \pi+\varepsilon).$$

Где это исследовано и можно посмотреть?

[Markiyan Hirnyk]

Это преобразование Гильберта с точностью до постоянного множителя.

[thething]

Asalex в сообщении #1352402 писал(а):

Где это исследовано и можно посмотреть?

Что в первом, что во втором случае интегралы можно посчитать средствами ТФКП (немного по-разному вычисляются, в зависимости от того, действительно $k$ или комплексно).

[DeBill]

Asalex
Если бы $f$ продолжалась на всю плоскость (ну, может, с изолированными особенностями), то в случаях 2 и 3, интеграл можно дополнить иннтегралом по большой полуокружности (а в первом случае - тоже можно - по лемме Жордана - только дополнять надо - для косинуса, например, соответственно, либо верхней, либо нижней полу-тями). Тогда получится чисто интеграл Коши, и его можно явно посчитать (и обе асимптотики будут одинаковы). Напр., для 2 , если у $f$ все полюса (в конечном кол-ве) - простые, то и будет убывание типа $\frac{c}{k}$ ...И т.д. - можно рассмотреть кучу примеров, для которых все считается явно. То же - для 1 - но там следует ожидать осцилляции...