2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Эллиптические интегралы и их производные
Сообщение07.11.2018, 08:35 
Заслуженный участник


21/08/10
2408
Что-то не могу сообразить простую, судя по всему, вещь. Бывает, что ступор в голове... :-(

Речь о производных от эллиптических интегралов (никогда раньше с ними не сталкивался, как-то не пришлось):

$$
E(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}d\alpha \, ,
$$


$$
K(k)=\int\limits_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}d\alpha \, .
$$

С производной от $E(k)$ никаких проблем, в пару строчек получается формула из книжки:

$$
dE(k)/dk=[E(k) - K(k)]/k \, .
$$

Но вот с производной от $K(k)$...

$$
\frac{dK(k)}{dk}= \frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{k^2\sin^2\alpha}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha
$$

Понятно, прибавляем и вычитаем единицу в числителе, получается одно слагаемое $-k^{-1}K(k)$ (как в книжке) а второе

$$
\frac{1}{k}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{1}{(\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha})^3}d\alpha
$$

Судя по ответу в книжке, надо числитель умножить на $1-k^2$ (а обратную величину вынести), тогда получится $E(k)$. Но убей меня бог, если я вижу как это получится... Подскажите, если можно.

P.S. На самом деле мне нужны другие интегралы, лишь похожие на возникающий здесь. Я просто тренируюсь. Думаю, если выясню, как здесь делается, то соображу что делать с моими интегралами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллиптические интегралы и их производные
Сообщение07.11.2018, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1413
Антарктика
См. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, п. 511 (у меня издание 2016 года). Там в сноске тождество, из которого всё и следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллиптические интегралы и их производные
Сообщение07.11.2018, 16:57 
Заслуженный участник


21/08/10
2408
thething в сообщении #1352359 писал(а):
См. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2, п. 511 (у меня издание 2016 года). Там в сноске тождество, из которого всё и следует.



Нашел, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллиптические интегралы и их производные
Сообщение07.11.2018, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1413
Антарктика
Alex-Yu в сообщении #1352413 писал(а):
И где его взять этого Фихтенгольца?

Не думал, что это проблема (вроде лежит в открытом доступе).

Вот то тождество: $(1-k^2\sin^2\alpha)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{1-k^2}(1-k^2\sin^2\alpha)^\frac{1}{2}-\frac{k}{1-k^2}\frac{d}{d\alpha}(\sin\alpha\cos\alpha(1-k^2\sin^2\alpha)^{-\frac{1}{2}})$.

Фихтенгольц пишет, что его "легко проверить", а как до него изначально догадаться, я без понятия)

-- 07.11.2018, 19:08 --

thething в сообщении #1352420 писал(а):
Нашел, спасибо.

Ну вот, а я старался, набирал.. Ну пусть будет)

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллиптические интегралы и их производные
Сообщение07.11.2018, 17:09 
Заслуженный участник


21/08/10
2408
thething в сообщении #1352420 писал(а):
Фихтенгольц пишет, что его "легко проверить", а как до него изначально догадаться, я без понятия)



Нашел уже. Проверить без проблем. Но вот как догадаться... Ладно, и так сойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Эллиптические интегралы и их производные
Сообщение08.11.2018, 16:08 
Заслуженный участник


21/08/10
2408
thething в сообщении #1352359 писал(а):
Там в сноске тождество, из которого всё и следует.


У Фихтенгольца здесь, кстати, опечатка. Но на интеграл она не влияет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group