Понятие группы: нейтральный элемент

[bayah]

1). Может ли в группе быть такой элемент $g_1 \neq e$, что $g_1g_2 = g_2$, но $g_2g_1 \neq g_2$?
Вопрос не про коммутативность, а про не противоречит ли это единственности нейтрального элемента?
С одной стороны $g_1g_2 = g_2$, значит $g_1$ - есть нейтральный элемент, а с другой, нейтральный элемент должен коммутировать, а $g_1$ не коммутирует. Получается $g_1$ не есть нейтральный?

2). Может ли в группе быть такой элемент $j_1 \neq e$, что $j_1x = xj_1 = x$, но не для всех $x$?

[Fi1imon]

В группе для каждого элемента должен быть обратный.
Подберите подходящие обратные элементы для Ваших равенств.

[Munin]

1) Домножьте ваше равенство справа на $g_2^{-1}.$
2) На $x^{-1}.$

[bayah]

Munin в сообщении #1352171 писал(а):

1) Домножьте ваше равенство справа на $g_2^{-1}.$

Ну будет $g_1 = e$, но это если справа. А если слева, то $g_1 \neq e$. Для обратного элемента как я понимаю тоже нужна коммутативность. Тут она не выполняется. Значит $g_1$ не есть нейтральный.

Munin в сообщении #1352171 писал(а):

2) На $x^{-1}.$

А что тут? $j_1 = xjx^{-1} = e$. Если $j$ коммутирует с этим $x$, то $j_1 = e$. Но опять же, тут вопрос к всеобщности. То есть если есть такой $x$ для которого это не выполняется.

[Mikhail_K]

bayah в сообщении #1352210 писал(а):

Ну будет $g_1 = e$, но это если справа. А если слева, то $g_1 \neq e$. Для обратного элемента как я понимаю тоже нужна коммутативность. Тут она не выполняется. Значит $g_1$ не есть нейтральный.

Подумайте ещё. В теме фактически дан исчерпывающий ответ на все Ваши вопросы.

[Munin]

bayah в сообщении #1352210 писал(а):

Ну будет $g_1 = e$, но это если справа. А если слева, то $g_1 \neq e$.

Скажите, что по-вашему обозначает знак $=,$ если вы допускаете, что это может и выполняться и не выполняться одновременно.

P. S. Возможно, то, что вас интересует, существует в мире полугрупп. Или что-то близкое к этому. (Думаю, совсем уж противоречивые конструкции не существуют нигде и никак.)

[arseniiv]

Уже в мире моноидов существуют: $\{e,g_1,g_2\}$, $g_ig_j = g_j$, $ex = xe = x$. Ассоциативность проверяется быстро: $(xy)z = z = yz = x(yz)$, если $e\notin\{x,y,z\}$, и $(xy)e = xy = x(ye)$, $(xe)z = xz = x(ez)$, и $(ey)z = yz = e(yz)$. Ну и полугруппу можно получить, выкинув $e$.

Это пример и к первому вопросу, и ко второму. Более общий ответ на второй вопрос — идемпотенты: элементы $a$ такие, что $aa = a$. В данном случае $g_i$ — идемпотенты, ну и нейтральный элемент всегда идемпотент (в группах — единственный).

-- Ср ноя 07, 2018 02:40:54 --

Ещё можно более интересный пример построить для второго вопроса: возьмём линейно упорядоченное множество и операцию $x\vee y = \max\{x,y\}$. Тогда $x\geqslant a \Leftrightarrow x\vee a = x$, и притом нейтрального элемента у $\vee$ может и не быть. Так что если взять уже даже $(\mathbb N,\max)$, для любого $a$ будет бесконечно много таких $x$. (Пример обобщается до произвольной полурешётки; собственно, если она возникает не на частично упорядоченном множестве, порядок на ней как раз и определяется соотношением выше.) Конкретный пример с решёткой для тех, кто не знает про решётки: $(\mathbb N,\text{НОК})$.

[bayah]

Munin в сообщении #1352255 писал(а):

Скажите, что по-вашему обозначает знак $=,$ если вы допускаете, что это может и выполняться и не выполняться одновременно.

Так вот я и не вижу противоречий. Вообще я не очень понимаю как правильно понимать, например, существование нейтрального элемента:
$\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (ea=ae=a)$

Как
1). В группе должен быть такой элемент $e$, что для любого элемента произведение с $e$ дает этот самый элемент и оно должно быть коммутативно.
Тогда эта аксиома никак не запрещает помиммо существования нейтрального элемента существование элементов, которые могут быть только левым нейтральным элементом, или нейтральным элементом только для некоторых элементов группы, или только левым нейтральным элементом для определенных элементов и т.п. Они в этом случае не есть требуемые по аксиоме $e$.

Либо
2). В группе должен быть такой элемент $e$, что если его произведение с каким-то элементом из группы равно самому элементу, то это произведение и коммутативно и так же выполняется для всех других элементов группы.

Ну вообще, вроде как верно только прочтение 1).
Поэтому я делаю вывод, что все вышеописанные элементы (только левый нейтральным элемент, нейтральным элементом только для некоторых элементов группы, ...) в группе могут быть.
Если это не так, то тогда почему аксиома сформулирована так, что не противоречащие напрямую ей положения все таки противоречат ей? Ну можно же дать минимально необходимое условие в аксиоме, а не уже нагруженное следствиями положение?

arseniiv в сообщении #1352263 писал(а):

Уже в мире моноидов существуют: $\{e,g_1,g_2\}$, $g_ig_j = g_j$, $ex = xe = x$. Ассоциативность проверяется быстро: $(xy)z = z = yz = x(yz)$, если $e\notin\{x,y,z\}$, и $(xy)e = xy = x(ye)$, $(xe)z = xz = x(ez)$, и $(ey)z = yz = e(yz)$. Ну и полугруппу можно получить, выкинув $e$.

Это пример и к первому вопросу, и ко второму. Более общий ответ на второй вопрос — идемпотенты: элементы $a$ такие, что $aa = a$. В данном случае $g_i$ — идемпотенты, ну и нейтральный элемент всегда идемпотент (в группах — единственный).

Не очень понял как это ответ на мой вопрос.
Группа более частный случай подгруппы и моноида, так? Но в вашем примере с моноидом существование таких идемпотентных элементов помимо нейтрального элемента не запрещается, как я понял. Так что противоречия не возникает.

[Someone]

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

для любого элемента произведение с $e$ дает этот самый элемент и оно должно быть коммутативно

"Оно", то есть, операция умножения, не должна быть коммутативной. Это элемент $e$ должен быть перестановочным с каждым элементом группы.

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

Тогда эта аксиома никак не запрещает помимо существования нейтрального элемента существование элементов, которые могут быть только левым нейтральным элементом, или нейтральным элементом только для некоторых элементов группы, или только левым нейтральным элементом для определенных элементов и т.п. Они в этом случае не есть требуемые по аксиоме $e$.

Ну ведь тривиальное же упражнение. Пусть для некоторой пары элементов $a$, $b$ выполняется равенство $ab=b$. По определению группы, элемент $b$ имеет обратный элемент $c$, то есть, такой элемент, что $bc=e$ и $cb=e$. Умножая обе части равенства $ab=b$ справа на $c$, получим $(ab)c=bc$. В группе операция умножения ассоциативна (по определению группы), поэтому в левой части скобки переставляем: $a(bc)=bc$. Так как $bc=e$, получаем $ae=e$. Так как $e$ — единичный элемент, то $ae=a$, поэтому получаем равенство $a=e$. Что непонятно?

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

Поэтому я делаю вывод, что все вышеописанные элементы (только левый нейтральным элемент, нейтральным элементом только для некоторых элементов группы, ...) в группе могут быть.

Не могут быть.

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

Если это не так, то тогда почему аксиома сформулирована так, что не противоречащие напрямую ей положения все таки противоречат ей?

Потому что кроме этой аксиомы есть и другие. И противоречие получается не конкретно с одной аксиомой, а с их совокупностью.

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

Группа более частный случай подгруппы и моноида, так? Но в вашем примере с моноидом существование таких идемпотентных элементов помимо нейтрального элемента не запрещается, как я понял. Так что противоречия не возникает.

В случае моноида иногда не возникает, а иногда возникает. Например, если моноид является группой, то возникает.

[Munin]

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

Так вот я и не вижу противоречий.

Я же спросил:

Munin в сообщении #1352255 писал(а):

Скажите, что по-вашему обозначает знак $=$

Давайте с этого начнём.

Рассмотрим простенькую группу, такую как группу остатков от деления на $5,$ её элементы $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\}.$

Объясните, что по-вашему означают записи:

1) $0=1$
2) $2=2$
3) $x=3$
4) $x=y$
5) $4\ne 0$
6) $1\ne 1$
7) $x\ne 2$
8) $x\ne y$

?

[bayah]

Someone в сообщении #1352330 писал(а):

Ну ведь тривиальное же упражнение. Пусть для некоторой пары элементов $a$, $b$ выполняется равенство $ab=b$. По определению группы, элемент $b$ имеет обратный элемент $c$, то есть, такой элемент, что $bc=e$ и $cb=e$. Умножая обе части равенства $ab=b$ справа на $c$, получим $(ab)c=bc$. В группе операция умножения ассоциативна (по определению группы), поэтому в левой части скобки переставляем: $a(bc)=bc$. Так как $bc=e$, получаем $ae=e$. Так как $e$ — единичный элемент, то $ae=a$, поэтому получаем равенство $a=e$. Что непонятно?

Да, это понятно. Тоже уже проделал, понял.
Получается в случае моего примера

bayah в сообщении #1352163 писал(а):

1). Может ли в группе быть такой элемент $g_1 \neq e$, что $g_1g_2 = g_2$, но $g_2g_1 \neq g_2$?

$(g_1g_2)g_2^{-1} = g_2g_2^{-1} \Rightarrow g_1(g_2g_2^{-1}) = g_2g_2^{-1} = g_1 = e$
противоречие возникает благодаря добавлению аксиомы ассоциативности в группе только?

[bayah]

Munin в сообщении #1352255 писал(а):

Скажите, что по-вашему обозначает знак $=,$

А черт его знает)
Ну формально, вроде как отношение эквивалентности такое. Симметрично, рефлексивно, транзитивно.
Ну да, из рефлексивности вроде как следует, что $a$ всегда равно $a$.
А вообще, равенство это по идее тождество самому себе в рамках придуманной модели. Типа элемент $a = b$, если $a$ и $b$ это один и тот же элемент.

Munin в сообщении #1352347 писал(а):

Рассмотрим простенькую группу, такую как группу остатков от деления на $5,$ её элементы $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\}.$

Объясните, что по-вашему означают записи:
1) $0=1$
2) $2=2$
3) $x=3$
4) $x=y$
5) $4\ne 0$
6) $1\ne 1$
7) $x\ne 2$
8) $x\ne y$ ?

1) Элемент $0$ это то же что элемент $1$. Ну исходя из определения множества это не верное утверждение, так как двух одинаковых элементов в множестве быть не может.
2) Элемент $2$ это элемент $2$. Это верно.
3) Переменная $x$ это элемент $3$.
4) Переменная $x$ и переменная $y$ это один и тот же элемент.
5) $4$ и $0$ это разные элементы.
6) $1$ и $1$ это разные элементы. Это не верно.
7) Переменная $x$ это любой элемент кроме $2$.
8) Переменная $x$ и переменная $y$ это любые разные объекты.

[Someone]

bayah в сообщении #1352419 писал(а):

Ну формально, вроде как отношение эквивалентности такое. Симметрично, рефлексивно, транзитивно.

Нет, равенство — это не просто отношение эквивалентности. Равные объекты полностью взаимозаменимы: в любом высказывании любой объект можно заменить любым равным ему, то есть равные объекты неразличимы. Поэтому можно считать, что это "один и тот же объект": мы же никак не можем узнать, заменили объект или не заменили. А эквивалентные объекты не всегда могут заменять друг друга.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1352377 писал(а):

противоречие возникает благодаря добавлению аксиомы ассоциативности в группе только?

Не только, мы ведь ещё пользуемся существованием обратного для каждого элемента.

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

Не очень понял как это ответ на мой вопрос.

Ну вы же спрашивали, а бывают ли элементы с такими свойствами и с этакими: вот я вам и показал, что бывают (но не в группе).

-- Ср ноя 07, 2018 21:54:24 --

bayah в сообщении #1352419 писал(а):

Ну исходя из определения множества это не верное утверждение, так как двух одинаковых элементов в множестве быть не может.

Это неправильное возражение. Если его записать формально: $\forall x\in A.\forall x'\in A.\,x\ne x'$ — можно увидеть следствие $\forall x\in A.\,x\ne x$ — очевидно неверное для любого непустого множества $A$. Когда говорят, что в множестве не может быть больше одного одинакового элемента, на самом деле должно произноситься, что мы можем сказать что-нибудь только принадлежности элемента множеству, а не о числе его вхождений туда (как для мультимножеств) — которое по-хорошему просто не определено — иначе говоря, множества отличаются друг от друга только вхождением элементов, а не их количествами.

(Тут можно вспомнить про характеристическую функцию подмножества и про красивую формулу $|A| = \sum_{x\in U} \chi_A(x)$, но, на самом деле, никто не говорил, что значения характеристической функции имеют что-то общее с числом вхождений элементов.)

[Munin]

bayah
Хорошо, вроде, значок $=$ на моих примерах вы понимаете без проблем. Но тогда как вы могли произносить post1352210.html#p1352210 ? Не понимаю.
Возможно, "временное помутнение", и вы уже разобрались. (Похоже на то, судя по post1352377.html#p1352377 )

-- 07.11.2018 20:31:26 --

Да, может быть, у вас проблемы с $\exists\forall,$ но тут пускай arseniiv разбирается. Это тоже достаточно простые вещи, достаточно перевести их на человеческий язык, и сосредоточиться.

-- 07.11.2018 20:36:22 --

Если что, аксиома единицы в группе

bayah в сообщении #1352297 писал(а):

$\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (ea=ae=a)$

читается так:

$\exists\,e\in G\colon \Bigl(\forall\,a\in G\colon (ea=ae=a)\Bigr)$

Ещё небольшой "перевод на русский": в формуле $ea=ae=a$ буква $a$ - переменная, а буква $e$ - константа (некоторый конкретный элемент группы, выбранный один раз и навсегда в этой группе; существует простая теорема, что он такой единственный).