Интеграл с ошибкой

[Grom Hellscream]

Задача: посчитать с ошибкой менее 5% интеграл $\int_{1} ^{10} x^xdx $.
Точно вычислить не смог, но кажется смог приближенно.
Обозначим $F(x) = \int_{1}^x t^tdt $. Рассмотрим функцию $G = x^x/(\ln x+1) $. Эта функция эквивалентна F на бесконечности (рассматриваем предел отношения, применяем правило Лопиталя и по теореме Ньютона-Лейбница $F' = x^x $). Если взять производную от G, то получим, что $ G'/F' = 1 - 1/x(\ln x+1)^2 $. Теперь хочется понять, как дальше использовать эту эквивалентность для вычисления интеграла с ошибкой.

[thething]

Можно предположить, что $I=\int\limits_{1}^{10}x^xdx=\int\limits_{1}^{10}\frac{d(x^x)}{1+\ln x}\approx\frac{10^{10}}{1+\ln 10}$ (последнее -- из формулы интегрирования по частям).

Остаётся оценить величину $\left\lvert I-\frac{10^{10}}{1+\ln 10}\right\rvert$, деленную на $\frac{10^{10}}{1+\ln 10}$. Для этого можно проинтегрировать по частям "по-честному" и попробовать оценить отбрасываемый интеграл.

Численно получилось около 1%.

А не численно, несложными оценками получилось 2% (это я оцениваемый интеграл разбил на две части точкой 8 и оценил каждую в отдельности. Также пробовал брать промежуточные точки 4 и 5, погрешность растёт, но не превышает требуемые 5%).

[Grom Hellscream]

thething
Спасибо большое, действительно, достаточно было разбить интеграл на 2 отрезка. Только у меня получается , что выгоднее разбить на $\int_1^9+\int_9^{10}.$

[thething]

Ну да, чем ближе к 10, тем выгоднее, а 8 удобно потому, что $8>e^2$ и в логарифм одного из интегралов подставлять удобно.