11^p+19^q

[Ktina]

Докажите, что $11^p+19^q$ не может быть точной степенью (больше первой) натурального числа ни при каких простых $p$ и $q$.

[wrest]

Ktina в сообщении #1352259 писал(а):

ни при каких простых $p$ и $q$.

А при составных может?

[Ktina]

wrest
А Вы можете доказать, что и при составных не может?

[wrest]

Ktina в сообщении #1352329 писал(а):

А Вы можете доказать, что и при составных не может?

Мотидзуки может. Но его никто не понимает

[Ktina]

wrest
Если брать $p$ и $q$ простыми, получается очень простая (с точки зрения необходимых для её решения знаний) задачка. Думаю, достаточно талантливому 5-6-класснику не составит особого труда её решить. А вот с составными сложнее. Да и есть ещё числа 1 и 0, помимо простых и составных.

[Ktina]

Я, наверно, опубликую решение и помещу в офф:

(Оффтоп)

Ясно, что $p$ и $q$ разной чётности, в противном случае всё выражение делилось бы на 2, но не делилось на 4.

Случай 1: $11^2+19^q=121+19^q$ даёт остаток 4 при делении на 8 (так как $q$ у нас нечётное), а значит, если степень, то только квадрат. Но это невозможно по модулю 3, так как 121 даёт 1 и степень числа 19 тоже даёт 1.

Случай 2: $19^2+11^q=361+11^q$ тоже даёт остаток 4 при делении на 8 (так как $q$ у нас нечётное), а значит, если степень, то только квадрат. Но квадраты на двойку не кончаются!

Вот и вся любовь! А вы: "засахарилось, засахарилось!"

[waxtep]

1. $p$ и $q$ должны быть разной четности, иначе сумма не поделится на $4$; значит, одно из них двойка
2. искомая степень не может быть четным $2m$, иначе будет $19^p=(x^m-11)(x^m+11)$ или $11^q=(x^m-19)(x^m+19)$, но, обе скобки в правой части не могут делиться на основание левой части одновременно
3. значит, сумма должна делиться хотя бы на $8$, однако, по модулю $8$ сумма получается только $2$ или $4$, не ноль $\Rightarrow$ решений в простых $p,q$ нет

[Ktina]

waxtep
Большое спасибо!
В принципе, у Вас то же самое, что и у меня, только «задом на перёд».