Замена на эквивалентную функцию при вычислении предела

[andreyka]

Есть пример, когда в сумме замена $\sqrt{x^2 +x}$ на эквивалентную $x$ при $x\to+\infty$ дает ошибочный результат:

$$\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2 +x} - x = \lim_{x\to+\infty} (x - x) = 0$$

Можно ли придумать подобный контрпример с эквивалентными $\ln(1+x)\sim x$, $e^x-1\sim x$ или $\sin x \sim x$?

Придумал такой пример:

$$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2} = \lim_{x\to+\infty} \frac{x-x}{x^2} = 0$$

В то же время $\lim\limits_{x\to 0} \frac{e^x-1-x}{x^2} = \frac12$.

Но для обоснования нужна формула Тейлора. Хотелось бы придумать более простой пример, не требующий знания производных и формулы Тейлора.

[Lia]

Можно. Много. Но попробуйте сперва сами.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[thething]

andreyka в сообщении #1350888 писал(а):

Хотелось бы придумать более простой пример, не требующий знания производных и формулы Тейлора.

$\lim\limits_{x\to 0}^{}\displaystyle\frac{\sin x-\tg x}{x^3}$.

[TOTAL]

andreyka в сообщении #1350888 писал(а):

Есть пример, когда в сумме замена $\sqrt{x^2 +x}$ на эквивалентную $x$ при $x\to+\infty$ дает ошибочный результат:

$$\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2 +x} - x = \lim_{x\to+\infty} (x - x) = 0$$

Ошибочный результат здесь потому, что замена ошибочно полагается эквивалентной.

Вместо чугунной гири при взвешивании можно использовать шоколадную гирю аналогичной массы. Т.е. при взвешивании гири эквивалентны. При попытке употребить гири за завтраком обнаруживается их неэквивалентность.