Стратегическая непрерывная задача

[ddn]

Встречаются две армии на поле боя.

Состав армий:
В составе армий имеется $n>0$ типов боевых средств ($n$ - целое).

Группа боевых средств $i_1$-го типа (где $i_1=1,..,n$) первой армии содержит их в количестве $N^{(i_1)}_1\geqslant 0$ непрерывно делимых однородных единиц.
Аналогично, группа боевых средств $i_2$-го типа (где $i_2=1,..,n$) второй армии содержит их в количестве $N^{(i_2)}_2\geqslant 0$ непрерывно делимых однородных единиц.
($N^{(i_1)}_1$ и $N^{(i_2)}_2$ - вещественные)

Параметры боевых средств:
Боевая единица $i$-го типа, направляя весь огонь на группу боевых единиц противника $i'$-го типа, уничтожает их равномерно по $a_{i,i'}>0$ единиц в единицу времени, независимо от взаимной диспозиции групп ($a_{i,i'}$ - вещественно).

Сражение:
Бой начинается в момент времени $t=0$.

Каждая армия, в каждый момент времени $t\geqslant 0$, распределяет огонь каждой группы боевых средств одного типа по аналогичным группам противника:
$M^{(i_1,i_2)}_1(t)\geqslant 0$ единиц боевых средств $i_1$-го типа первой армии ведут огонь по группе боевых единиц $i_2$-го типа второй армии, где $\sum\limits^{n}_{i_2=1}M^{(i_1,i_2)}_1(t)\leqslant N^{(i_1)}_1(t)$.
Аналогично, $M^{(i_2,i_1)}_2(t)\geqslant 0$ единиц боевых средств $i_2$-го типа второй армии ведут огонь по группе боевых единиц $i_1$-го типа первой армии, где $\sum\limits^{n}_{i_1=1}M^{(i_2,i_1)}_2(t)\leqslant N^{(i_2)}_2(t)$.

Таким образом имеем уравнения:
$\frac{dN^{(i_1)}_1}{dt}(t)=\left\{\begin{array}{l}-\sum\limits^{n}_{i_2=1}a_{i_2,i_1}M^{(i_2,i_1)}_2(t),N^{(i_1)}_1(t)>0\\0,N^{(i_1)}_1(t)=0\end{array}$
$\frac{dN^{(i_2)}_2}{dt}(t)=\left\{\begin{array}{l}-\sum\limits^{n}_{i_1=1}a_{i_1,i_2}M^{(i_1,i_2)}_1(t),N^{(i_2)}_2(t)>0\\0,N^{(i_2)}_2(t)=0\end{array}$

Пределы $\lim\limits_{t\to+\infty}N^{(i_1)}_1(t)$ и $\lim\limits_{t\to+\infty}N^{(i_2)}_2(t)$ всегда существуют в силу ограниченности с низу $\geqslant 0$ и невозрастания величин состава армий $N$. Поэтому доопределим величины $N$ на $t=+\infty$.

Завершение боя:
Бой завершается в минимальный (инфинум) момент времени $t_*$ (если тот существует), когда у одной из армий имеется нулевое число боевых средств всех типов:
$t_*=inf(t|t\in[0,+\infty](\vec N_1(t)=\vec 0 \vee \vec N_2(t)=\vec 0))$ - момент завершения боя.
Начиная с момента завершения боя составы армий не меняются.

Стратегии:
Каждая армия придерживается некоторой кусочно-непрерывной стратегии ($\hat F_1=\{F^{(i_1,i_2)}_1\}^{n}_{i_1,i_2=1}$ и $\hat F_2=\{F^{(i_2,i_1)}_2\}^{n}_{i_2,i_1=1}$), зависящей от количественного состава обоих армий $\vec N_1=\{N^{(i_1)}_1\}^{n}_{i_1=1}$ и $\vec N_2=\{N^{(i_2)}_2\}^{n}_{i_2=1}$, и определяющей в каждый момент времени $t\geqslant 0$ распределение огня каждой ее группы боевых средств одного типа по аналогичным группам противника, то есть:
$M^{(i_1,i_2)}_1(t)=F^{(i_1,i_2)}_1(\vec N_1(t),\vec N_2(t))$
$M^{(i_2,i_1)}_2(t)=F^{(i_2,i_1)}_2(\vec N_2(t),\vec N_1(t))$

при соблюдении ограничений для $M$:
$F^{(i_1,i_2)}_1(\vec N_1(t),\vec N_2(t))\geqslant 0$ и $\sum\limits^{n}_{i_2=1}F^{(i_1,i_2)}_1(\vec N_1(t),\vec N_2(t))\leqslant N^{(i_1)}_1(t)$
$F^{(i_2,i_1)}_2(\vec N_2(t),\vec N_1(t))\geqslant 0$ и $\sum\limits^{n}_{i_1=1}F^{(i_2,i_1)}_2(\vec N_2(t),\vec N_1(t))\leqslant N^{(i_2)}_2(t)$

Среди стратегий $\hat F$ армии, не меняющих ход сражения (то есть не меняющих прозводные $\vec N'(t)$ по времени) при замене друг на друга, выберем единственную каноническую стратегию по условию:
$F^{(i,i')}(\vec N,\vec N')=0$ при $N^{(i')}=0$ (где $i,i'=1,..,n$)

Среди стратегий $\hat F$ армии выберем добросовестные стратегии, когда часть армии не отлынивает от сражения:
если $\vec N'\not=\vec 0$, то $\forall i\in\overline{1,n}(\sum\limits^{n}_{i'=1}F^{(i,i')}(\vec N,\vec N')=N^{(i)})$

Значит, для канонической добросовестной стратегии $\hat F$, будет либо $\forall i\in\overline{1,n}(\sum\limits^{n}_{i'=1}F^{(i,i')}(\vec N,\vec N')=N^{(i)})$ при $\vec N'\not=\vec 0$, либо $\forall i,i'\in\overline{1,n}(F^{(i,i')}(\vec N,\vec N')=0)$ при $\vec N'=\vec 0$.

Исход сражения:
Проигравшая армия - армия с нулевым числом боевых средств в момент завершения боя (момент ее поражения).
Победившая армия - армия с ненулевым числом боевых средств в момент завершения боя (момент ее победы).

Если обе армии выбрали добросовестные стратегии, то завершение боя всегда существует и возможны следующие исходы сражения:

- обе армии имеют ненулевое начальное количество боевых средств ($\vec N_1(0)\not=\vec 0$ и $\vec N_2(0)\not=\vec 0$)
I. победила первая армия, а вторая проиграла в момент времени $0<t_*<+\infty$
II. обе армии проиграли в момент времени $t_*=+\infty$
III. победила вторая армия, а первая проиграла в момент времени $0<t_*<+\infty$

- первая армия имеет ненулевое, а вторая нулевое начальное количество боевых средств ($\vec N_1(0)\not=\vec 0$ и $\vec N_2(0)=\vec 0$)
IV. победила первая армия, а вторая проиграла в момент времени $t_*=0$

- вторая армия имеет ненулевое, а первая нулевое начальное количество боевых средств ($\vec N_1(0)=\vec 0$ и $\vec N_2(0)\not=\vec 0$)
V. победила вторая армия, а первая проиграла в момент времени $t_*=0$

- обе армии имеют нулевое начальное количество боевых средств ($\vec N_1(0)=\vec 0$ и $\vec N_2(0)=\vec 0$)
VI. обе армии проиграли в момент времени $t_*=0$

Выигрышная функция:
Выигрышная функция первой армии:
$H_1(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))=\left\{\begin{array}{l}+\infty,IV\\1/t_*,I\\0,II\vee VI\\-1/t_*,III\\-\infty,V\end{array}$
А второй армии:
$H_2(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))=\left\{\begin{array}{l}+\infty,V\\1/t_*,III\\0,II\vee VI\\-1/t_*,I\\-\infty,IV\end{array}$
то есть $H_2(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))=-H_1(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))$

Вместо указанных выигрышных функций, можно взять другие, например линейные:
$H_1(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))=\sum\limits^{n}_{i=1}c_i(N^{(i)}_1(t_*)-N^{(i)}_2(t_*))$
и
$H_2(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))=\sum\limits^{n}_{i=1}c_i(N^{(i)}_2(t_*)-N^{(i)}_1(t_*))$
(где $c_i>0$, $i=1,..,n$)
то есть опять же $H_2(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))=-H_1(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))$

Можно взять набор выигрышных функций лексикографически упорядочив его значения.

Оптимальные стратегии:
Задача каждой армии максимизировать свою выигрышную функцию при любых действиях противника. Недобросовестные действия армии не максимизирую ее выигрышную функцию, при любых действиях противника. Поскольку количество боевых средств каждого типа армии невозрастает, а при добросовестном поведении армии противника убывает до момента завершения боя, то до момента завершения боя каждое значение состава армии встречается не более одного раза. Поэтому поведение каждой армии во время одельного боя можно описать одной ее стратегией. Значит, для максимизации выигрышных функций: при любых действиях противника = при любой стратегии противника:
$H_1(\hat F_1,\vec N_1(0),\vec N_2(0))_*=\inf\limits_{\hat F_2}H_1(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))$
$H_2(\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))_*=\inf\limits_{\hat F_1}H_2(\hat F_1,\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))$

Максимальный выигрыш первой армии:
$H_1(\vec N_1(0),\vec N_2(0))_{**}=\sup\limits_{\hat F_1}H_1(\hat F_1,\vec N_1(0),\vec N_2(0))_*$

Оптимальная стратегия $\hat F_1$ первой армии, это такая стратегия, что дает ей максимальный выигрыш:
$H_1(\vec N_1(0),\vec N_2(0))_{**}=H_1(\hat F_1,\vec N_1(0),\vec N_2(0))_*$

Максимальный выигрыш второй армии:
$H_2(\vec N_1(0),\vec N_2(0))_{**}=\sup\limits_{\hat F_2}H_2(\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))_*$

Оптимальная стратегия $\hat F_1$ второй армии, это такая стратегия, что дает ей максимальный выигрыш:
$H_2(\vec N_1(0),\vec N_2(0))_{**}=H_2(\hat F_2,\vec N_1(0),\vec N_2(0))_*$

Упорядочив значения функции $\hat F$ стратегии (при подставленных функциях состава) по компонетам и по всем моментам времени, мы можем лексикографически упорядочить оптимальные стратегии первой армии и выбрать их них единственную (каноническую, в новом смысле) - минимальную по такому порядку.

Мы намеренно взяли стратегию сражения в данный момент времени зависящей лишь от состава армий не зависящей от стратегии противника противника в данный момент времени. Ибо получился бы порочный круг в определении стратегии. Потом, стратегию от момента к моменту можно менять совершенно разрывно и мы могли бы получить паталогию в поведении.

Решение:
Кто знает, как найти решение этой задачи: оптимальную стратегию и максимум функии выигрыша игроков?

Вот в чем вопрос.