Бесконечная сумма бесконечно малых

[Sicker]

Пусть $d$ - актуальная бесконечно малая, $nd$ - тоже бесконечно малая, и вообще при прибавлении к бесконечно малому числу бесконечно малого, получаем бесконечно малое число. Тогда бесконечная сумма таких бесконечно малых никогда не будет конечной! Доказательство
Найдем предел $d+d+d+...\rightarrow a$, где $a$ - конечное стандартное число. Пользуясь стандартным определением предела последовательности, получаем что предел равен нулю (это очевидно, ибо не существует такого натурального $n$, при котором сумма бесконечно малых слагаемых стала бы конечной, чтобы попасть в эпсилон-окрестность конечного ненулевого числа)
Здесь все ок?

[wrest]

Sicker в сообщении #1350612 писал(а):

Здесь все ок?

Нет.

[Sicker]

wrest в сообщении #1350618 писал(а):

Нет.

А что не так?

[Sender]

Sicker в сообщении #1350620 писал(а):

А что не так?

Боюсь, основная проблема в том, что это больше напоминает псевдослучайный набор слов и символов, чем доказательство.

[wrest]

Sicker в сообщении #1350620 писал(а):

А что не так?

Смешались в кучу кони, люди... Вот тут про интегральные суммы посмотрите http://vkr.pspu.ru/uploads/830/Bushuev_vkr.pdf страницы 23-27.

[Sicker]

Sender в сообщении #1350626 писал(а):

Боюсь, основная проблема в том, что это больше напоминает псевдослучайный набор слов и символов, чем доказательство.

Что поменяется в рассуждениях, если мы актуальную бесконечно малую заменим на ноль?

[wrest]

Sicker в сообщении #1350628 писал(а):

Что поменяется в рассуждениях, если мы актуальную бесконечно малую заменим на ноль?

Тогда вывод окажется верным: сколько нулей не складывай, хоть конечное количество хоть бесконечное, получишь ноль.

[arseniiv]

В предположении базового уровня вменяемости ТС:

Для начала, вы пользуетесь в построениях нестандартным анализом или чем-то другим? Если первым:

Если бы у вас была обычная стандартная последовательность $\mathbb N\to\mathbb R$, вы могли бы её расширить до ${}^*\mathbb N\to{}^*\mathbb R$ и что-то там спрашивать — а тут вы начинаете сразу с нестандартной, так и определить вы её значения вы должны были не только на стандартных натуральных. Можно взять тождественную (сразу на ${}^*\mathbb N$) последовательность $a_n = n$, а в качестве вашей рассмотреть $a_nd$, её значение в (и нестандартном тоже) $n$ будет равно $nd$.

Тогда предел на бесконечности всё равно будет бесконечным, как и должно ожидать от него, а значения в последовательности найдутся как бесконечно малые, так и конечные и бесконечно большие.

(Для тех, кто нормально разбирается: надеюсь, нигде тут не наврал.)

Если же вы пользуетесь чем-то другим или несёте бред, то скажите, чем пользуетесь (или, соответственно, ничего не говорите).

[Sicker]

wrest в сообщении #1350629 писал(а):

Тогда вывод окажется верным: сколько нулей не складывай, хоть конечное количество хоть бесконечное, получишь ноль.

Так в том то и фишка, что стандартное определение предела способно давать результат, основываясь только на свойствах конечных сумм. Там нигде бесконечность не фигурирует (если только потенциальная), и т.к. ноль и бесконечно малые при конечных суммах проявляют одинаковые свойства, то значит и суммы у них будут одинаковые, разве нет?

-- 31.10.2018, 20:05 --

arseniiv в сообщении #1350630 писал(а):

Если же вы пользуетесь чем-то другим или несёте бред, то скажите, чем пользуетесь (или, соответственно, ничего не говорите).

У меня последовательность $ \mathbb N\to{}^*\mathbb R$

[arseniiv]

Вы лучше ответьте, какой фреймворк. А то если это опять просто отдельные идеи из вашего воображения, никак не привязанные к реальной математике, то и обсуждать нечего.

-- Ср окт 31, 2018 22:06:55 --

Sicker в сообщении #1350631 писал(а):

У меня последовательность $ \mathbb N\to{}^*\mathbb R$

А зачем.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1350632 писал(а):

А зачем.

А просто

[arseniiv]

В общем вы неявно подтвердили, что хотите «по-нестандартному». Ну тогда идите принесите заодно парочку определений. В частности проверьте, бывает ли такая база, чтобы предел получился только по стандартной части последовательности. Что-то я не уверен.

-- Ср окт 31, 2018 22:10:10 --

А то вы рассматриваете какие-то потенциально несуществующие объекты как обычно.

[Someone]

Sicker в сообщении #1350631 писал(а):

Там нигде бесконечность не фигурирует (если только потенциальная), и т.к. ноль и бесконечно малые при конечных суммах проявляют одинаковые свойства, то значит и суммы у них будут одинаковые, разве нет?

Нет. В стандартном математическом анализе нет никаких "бесконечно малых" чисел, поэтому процитированная фраза бессмысленна.

Sicker в сообщении #1350631 писал(а):

Так в том то и фишка, что стандартное определение предела способно давать результат, основываясь только на свойствах конечных сумм.

"Фишка" в том, что в нестандартном анализе доказуемы те и только те утверждения о внутренних объектах, которые доказуемы в стандартном (принцип переноса). В частности, если в стандартном анализе $\lim\limits_{n\to\infty}nd=\infty$ при $d\neq 0$, то в точности то же самое будет и в нестандартном.

Sicker в сообщении #1350631 писал(а):

У меня последовательность $ \mathbb N\to{}^*\mathbb R$

Множество $\mathbb N$ в нестандартном анализе не является внутренним, и какие-либо утверждения о нём невыразимы в языке нестандартного анализа. Внутренним является $^*\mathbb N$, вот его и нужно рассматривать.

[TOTAL]

Sicker в сообщении #1350612 писал(а):

Найдем предел $d+d+d+...\rightarrow a$

Тоже хочу найти предел:

$$\frac{1}{1+1+1+ \cdots}+\frac{1}{1+1+1+ \cdots} + \frac{1}{1+1+1+ \cdots}+ \cdots$$

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

TOTAL
Так общий знаменатель приведён уже... получается 1.