Ортогональные векторы в евклидовом пространстве

[student1138]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться в следующем вопросе.

Выберем в n-мерном евклидовом векторном пространстве n линейно независимых взаимно не ортогональных векторов.
Примем эти векторы за базис. Координаты всех векторов пересчитаем в этом новом базисе. А сами эти новые векторы, естественно, будут имеют координаты $e_1 = [1, 0, 0, ..., 0], e_2 = [0, 1, 0, ..., 0], ..., e_n = [0, 0, 0, ..., 1] $.

Теперь заново определим скалярное произведение $f$ как сумму произведений координат: $f(x, y) = x_1y_1 + ... + x_ny_n$. Эта форма будет удовлетворять аксиомам скалярного произведения: она симметрична, она билинейна, и соответствующая ей квадратичная форма $q(x) = f(x, x)$ положительно определена.

И тогда получается что векторы $e_1, ... e_n$ у нас ортогональны. Но они же ведь были выбраны не ортогональными!

Помогите понять что здесь происходит. Тут есть ошибка или нет? Векторы могут одновременно ортогональны и не ортогональны при разных определениях скалярного произведения?

[Geen]

А как определяется ортогональность?

[oniksofers]

student1138 в сообщении #1350604 писал(а):

Теперь заново определим скалярное произведение $f$ как сумму произведений координат: $f(x, y) = x_1y_1 + ... + x_ny_n$. Эта форма будет удовлетворять аксиомам скалярного произведения: она симметрична, она билинейна, и соответствующая ей квадратичная форма $q(x) = f(x, x)$ положительно определена.

Ну так, для начала надо грамотно написать определение скалярного произведения. Начать можно с того, что написать $f(x,y)$, потом разложить $x$,$y$ по неортогональному базису. Воспользоваться свойсвами скалярного произведения и узреть корень проблемы.

[student1138]

Geen в сообщении #1350605 писал(а):

А как определяется ортогональность?

Равенство нулю скалярного произведения. В новом базисе и при новом определении скалярного произведения оно, очевидно, равно нулю.

Цитата:

Ну так, для начала надо грамотно написать определение скалярного произведения.

А что я неграмотно написал? Симметричная билинейная форма с положительно определенной соответствующей квадратичной формой. Строго как в учебнике.

[Munin]

student1138 в сообщении #1350604 писал(а):

Теперь заново определим скалярное произведение $f$ как сумму произведений координат: $f(x, y) = x_1y_1 + ... + x_ny_n$.

Это будет уже новое скалярное произведение. А старое будет выражаться какой-то квадратичной формой со слагаемыми $f_{ij}x_i y_j,\quad i\ne j.$

Потом вы имеете вполне естественную ситуацию: с точки зрения одного скалярного произведения (старого) какие-то векторы не ортогональны, а с точки зрения другого скалярного произведения (нового) они же ортогональны. Зато наоборот, ортогональные в старом смысле - будут неортогональны в новом смысле. И разумеется, могут быть векторы, неортогональные в обоих смыслах.

[student1138]

Munin в сообщении #1350622 писал(а):

с точки зрения одного скалярного произведения (старого) какие-то векторы не ортогональны, а с точки зрения другого скалярного произведения (нового) они же ортогональны.

Спасибо, я пока писал тоже понял что у меня же два разных скалярных произведения, но на всякий случай решил спросить.
Получается даже в одном и том же базисе можно определить разные скалярные произведения с такими свойствами. Например, сделать ту процедуру которую я описал выше а затем пересчитать матрицу второго (нового) скалярного произведения в старом базисе. Получим что одни и те же векторы в одном и том же базисе с точки зрения одного произведения ортогональны а с точки зрения другого - нет.

[alcoholist]

student1138 в сообщении #1350625 писал(а):

Получим что одни и те же векторы в одном и том же базисе с точки зрения одного произведения ортогональны а с точки зрения другого - нет.

Не удержался, зачеркнул ненужное.

[Munin]

Я тут порывался написать, что любая положительно определённая квадратичная форма определяет скалярное произведение, и наоборот, но испугался комплексного случая. Как в нём - не знаю.

[Otta]

Munin в сообщении #1350671 писал(а):

положительно определённая квадратичная форма определяет скалярное произведение, и наоборот, но испугался комплексного случая. Как в нём - не знаю.

Эрмитова, вестимо.
Ой, не на тот вопрос отвечаю ))

А должна быть положительно определенная эрмитова форма.

[g______d]

Munin в сообщении #1350671 писал(а):

Я тут порывался написать, что любая положительно определённая квадратичная форма определяет скалярное произведение, и наоборот, но испугался комплексного случая. Как в нём - не знаю.

В данном случае более правильно пугаться вещественного случая. В комплексном это как раз верно: положительно определённая полуторалинейная форма определяет скалярное произведение (полуторалинейная=линейная по одному аргументу и антилинейная по второму). А в вещественном случае нужно ещё добавить "симметричная".

А, ну правда в вещественном случае, если мы начинаем с квадратичной формы, то можно считать по умолчанию, что мы восстановили по ней симметричную часть билинейной формы, а про антисимметричную забыли.

В комплексном случае таких оговорок не нужно.

[Otta]

student1138 в сообщении #1350604 писал(а):

Выберем в n-мерном евклидовом векторном пространстве n линейно независимых взаимно не ортогональных векторов.

student1138 в сообщении #1350604 писал(а):

Теперь заново определим скалярное произведение

student1138 в сообщении #1350604 писал(а):

Векторы могут одновременно ортогональны и не ортогональны при разных определениях скалярного произведения?

Я вообще что хотела сказать. Евклидово пространство - это ЛВП, наделенное скалярным произведением. То есть, формальным языком говоря, это пара (ЛВП, скалярное произведение). И задавая новое скалярное произведение на той же линейной структуре, мы получаем другое евклидово пространство - изоморфное первому, естественно, но другое.
Векторы, ортогональные в первом ЕП, не обязаны оставаться ортогональными во втором.

[student1138]

Otta в сообщении #1350676 писал(а):

мы получаем другое евклидово пространство

Хорошее замечание, не осознавал этого.