неравенство!!!!

[daogiauvang]

у кого есть мнение ???
$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \max \left\{ {\sum\limits_{cyc} {\frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}},\sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(1 + c)(a^2 b^2 + 1)}}{{a^3 b^3 + 1}}} } } \right\}$
здесь $a,b,c$положительные числа.

[maxal]

Прежде всего это распадается на совокупность двух неравенств:

$$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq {\sum\limits_{cyc} {\frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}};$$

$$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(1 + c)(a^2 b^2 + 1)}}{{a^3 b^3 + 1}}} } };$$

которые можно доказывать независимо.

[daogiauvang]

maxal ты можешь решить детельно ???
гадаю что получим знак "=" когда и толко когда a=b=c1

[ewert]

кстати (я неравенства доказывать не умею, просто любопытно): что такое "Пэ"? по чему конкретно "Пэ"?

(есть, конечно, смутные подозрения, что имелось в виду что-то вроде

$$\prod_{t=a,b,c}\frac{t^3+1}{t^2+1}$$

, но -- хрен его знает...)

[daogiauvang]

ewert писал(а):

кстати (я неравенства доказывать не умею, просто любопытно): что такое "Пэ"? по чему конкретно "Пэ"?

(есть, конечно, смутные подозрения, что имелось в виду что-то вроде

$$\prod_{t=a,b,c}\frac{t^3+1}{t^2+1}$$

, но -- хрен его знает...)

$\prod {\frac{{a^3 + 1}}{{a^2 + 1}}} = \frac{{a^3 + 1}}{{a^2 + 1}}.\frac{{b^3 + 1}}{{b^2 + 1}}.\frac{{c^3 + 1}}{{c^2 + 1}} $

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

...что такое "Пэ"? по чему конкретно "Пэ"?

Надо полагать, что там

$$ \prod_{cyc} $$

То есть индекс у произведения такой же, как и у суммы.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Надо полагать, что там

$$ \prod_{cyc} $$

То есть индекс у произведения такой же, как и у суммы.

Нет, не совсем цык. Товарищ уже реабилитировался.

[arqady]

ewert писал(а):

кстати (я неравенства доказывать не умею, просто любопытно)...

А кто ж по Вашему их умеет доказывать? Имхо, даже б...г не умеет.

[arqady]

daogiauvang писал(а):

у кого есть мнение ???
$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \max \left\{ {\sum\limits_{cyc} {\frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}},\sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(1 + c)(a^2 b^2 + 1)}}{{a^3 b^3 + 1}}} } } \right\}$
здесь $a,b,c$положительные числа.

$$6\prod_{cyc}\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq\sum_{cyc} \frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}}$$

следует из неравенства

$$\frac{a^3+1}{a^2+1}\geq\sqrt[4]{\frac{a^4+1}{2}}.$$

[daogiauvang]

arqady писал(а):

daogiauvang писал(а):

у кого есть мнение ???
$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \max \left\{ {\sum\limits_{cyc} {\frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}},\sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(1 + c)(a^2 b^2 + 1)}}{{a^3 b^3 + 1}}} } } \right\}$
здесь $a,b,c$положительные числа.

$$6\prod_{cyc}\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq\sum_{cyc} \frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}}$$

следует из неравенства

$$\frac{a^3+1}{a^2+1}\geq\sqrt[4]{\frac{a^4+1}{2}}.$$

я уже знал :

$$\frac{a^3+1}{a^2+1}\geq \sqrt{a^2-a+1} \geq \sqrt[4]{\frac{a^4+1}{2}}.$$

но слевая выражения была произведением,а правая суммой. между ними какая связь?

[arqady]

daogiauvang писал(а):

arqady писал(а):

$$6\prod_{cyc}\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq\sum_{cyc} \frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}}$$

следует из неравенства

$$\frac{a^3+1}{a^2+1}\geq\sqrt[4]{\frac{a^4+1}{2}}.$$

я уже знал :

$$\frac{a^3+1}{a^2+1}\geq \sqrt{a^2-a+1} \geq \sqrt[4]{\frac{a^4+1}{2}}.$$

но слевая выражения была произведением,а правая суммой. между ними какая связь?

Вот такая:

$$\frac{(b^3+1)(c^3+1)}{(b^2+1)(c^2+1)}\geq\sqrt[4]{\frac{(b^4+1)(c^4+1)}{4}}\geq\sqrt{\frac{b^2c^2+1}{2}}\geq\frac{bc+1}{2}$$

и

$$\left(\frac{a^3+1}{a^2+1}\right)^2\geq\sqrt{\frac{a^4+1}{2}}\geq a.$$

Поэтому

$$2\prod_{cyc}\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \frac{{a(1 + bc)(a^2 + 1)}}{{a^3 + 1}}.$$

[daogiauvang]

спасибо arqady, очень красивое решение но еще одно неравенство,

$$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(1 + c)(a^2 b^2 + 1)}}{{a^3 b^3 + 1}}} } };$$

думаю что, это неравенство труднее

[arqady]

daogiauvang писал(а):

спасибо arqady, очень красивое решение но еще одно неравенство,

$$6\prod\frac{a^3+1}{a^2+1} \geq \sum\limits_{cyc} {\frac{{ab(1 + c)(a^2 b^2 + 1)}}{{a^3 b^3 + 1}}} } };$$

думаю что, это неравенство труднее

По-моему, оно как раз проще:

$$\frac{(a^3+1)(b^3+1)}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq\frac{ab+1}{2}\geq\frac{ab(a^2b^2+1)}{a^3b^3+1}$$

и

$$\frac{c^3+1}{c^2+1}\geq\frac{1+c}{2}.$$

Перемножаем, складываем ..., ну и всё!