Отношение площадей граней тетраэдра

[bitcoin]

Дан тетраэдр $SABC$, у которого высота $SH$ попадает в ортоцентр $\Delta ABC$. Найдите отношение $\dfrac{S_{ASC}}{S_{ASB}}$, если $SC=\sqrt{12}$, $SB=\sqrt{3}$, $BC=\sqrt{15}$.

Ясно, что треугольник $\Delta SBC$ прямоугольный, по теореме, обратной теореме Пифагора. Синие высоты попадают в одну точку, скорее всего по теореме о трех перпендикулярах, скорее всего, но пока что не видно - как именно. Пытался обозначать высоту пирамиды $SH=x$, а $HD=y$ и раскрутить все стороны через эти обозначения, не помогло. Была идея спроецировать боковые грани на плоскость основания и воспользоваться формулой для угла между плоскостями несколько раз $\cos\alpha=\dfrac{S_{\text{проекции}}}{S_{\text{фигуры}}}$, но и это не помогло, можете, подсказать, плиз, что делать?

Lia: название темы изменено на более подходящее без согласования с автором.

[TOTAL]

bitcoin в сообщении #1350164 писал(а):

Пытался обозначать высоту пирамиды $SH=x$, а $HD=y$ и раскрутить все стороны через эти обозначения, не помогло.

Обозначайте $SH=x$, затем находите всё что надо. Это $x$ никогда не найдете, но искомое отношение от $x$ зависеть не будет.

[bitcoin]

Спасибо! Я так уже пробовал, что-то не вышло, видимо делал что-то не так, попробую расписать:

Картинка в оффтопе в конце сообщения, чтобы было удобнее, а по условию: $SC=\sqrt{12}$, $SB=\sqrt{3}$, $BC=\sqrt{15}$.

$SH=x$, $HC=\sqrt{12-x^2}$, $HB=\sqrt{3-x^2}$, тогда $SD=\dfrac{SC\cdot SB}{BC}=\dfrac{6}{\sqrt{15}}$, $CD=\sqrt{12-SD^2}=\sqrt{12-\dfrac{36}{15}}=\sqrt{12-\dfrac{12}{5}}=\sqrt{\dfrac{48}{5}}$, $HD=\sqrt{CH^2-DC^2}=\sqrt{12-x^2-\left(\dfrac{48}{5}\right)^2}$

Теперь высоты граней и другие стороны граней - не знаю как выразить через $x$

(Оффтоп)

[TOTAL]

А если так: $CS \perp SB$, $CS \perp AB$, поэтому $CS \perp AS$.

Таким образом, искомое отношение равно двум (т.к. $\dfrac{SC}{SB}=2$)

[Munin]

Кажется, дальше $BH$ и $CH,$ потом $BE$ и $CF$...

-- 30.10.2018 12:42:00 --

TOTAL
У меня четырём.

[wrest]

Munin в сообщении #1350222 писал(а):

У меня четырём.

Если это ответ на задачу, то он неверный.

-- 30.10.2018, 13:24 --

(Картинка для сине-красных 3D очков)

[Munin]

wrest в сообщении #1350230 писал(а):

Если это ответ на задачу, то он неверный.

Рад буду узнать, где у меня ошибка.

[wrest]

Munin в сообщении #1350294 писал(а):

Рад буду узнать, где у меня ошибка.

Так вы же решения не изложили.

TOTAL не упомянул, что на самом деле оба треугольника, про площадь которых спрашивается в задаче -- прямоугольные (прямой угол $S$). У них общий катет $AS$, так что:

$$S_{ASC}=\dfrac{AS\cdot CS}{2};S_{ASB}=\dfrac{AS\cdot SB}{2}$$

и тогда

$$\dfrac{S_{ASC}}{S_{ASB}}=\dfrac{AS\cdot CS}{2}:\dfrac{AS\cdot SB}{2}=\dfrac{AS\cdot CS \cdot 2}{AS\cdot SB \cdot 2}=\dfrac{CS}{SB}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=2$$

Доказательство того, что треугольники прямоугольные, наверное всё же оставим ТС-у?

[Munin]

Спасибо, с этим пояснением моя ошибка мне видна. Буду решать дальше.

[wrest]

Munin
Заодно покажите, что высота прямоугольного тетраэдра опущенная на его основание, проходит через ортоцентр основания ;)

[bitcoin]

wrest в сообщении #1350304 писал(а):

Доказательство того, что треугольники прямоугольные, наверное всё же оставим ТС-у?

Спасибо, я уже теперь все понял, потому как такую подсказку еще раньше дали.

TOTAL в сообщении #1350221 писал(а):

А если так: $CS \perp SB$, $CS \perp AB$, поэтому $CS \perp AS$.

Ну аналогично доказывается прямоугольность второго треугольника)) Да, я там понимаю, что $CS \perp AB$ по теореме о трех перпендикулярах. Ну и $CS \perp AS$, потому как $CS$ перпендикулярно плоскости, в которой лежит $AS$

[bitcoin]

wrest в сообщении #1350304 писал(а):

Доказательство того, что треугольники прямоугольные, наверное всё же оставим ТС-у?

Спасибо, я уже теперь все понял, потому как такую подсказку еще раньше дали.

TOTAL в сообщении #1350221 писал(а):

А если так: $CS \perp SB$, $CS \perp AB$, поэтому $CS \perp AS$.

Ну аналогично доказывается прямоугольность второго треугольника)) Да, я там понимаю, что $CS \perp AB$ по теореме о трех перпендикулярах. Ну и $CS \perp AS$, потому как $CS$ перпендикулярно плоскости, в которой лежит $AS$

-- 30.10.2018, 22:20 --

Какое простое решение, оказывается, а я убил на эту задачу пару часов мозгового штурма)