Интегрируемость по Риману. Определение.

[Antonij]

В определении интегрируемости по Риману требуется, чтобы неравенство

$\left|\sigma(\xi,T)-I\right|<\varepsilon$

выполнялось для каждого выбора точек $\xi_k$ и для любого разбиения $T$ с нормой меньше $\delta$.
Вопрос. Что предел не должен зависеть от выборки $\xi$ понятно. А можете ли вы привести пример, когда при различном разбиении мы получаем разные результаты? Почему, например, нельзя предполагать, что если условие выполняется для равномерного разбиения, то значит функция интегрируема.

Идеи были обыграть неограниченные функции, рациональные-иррациональные точки, но т.к. $\xi$ любое, то этот вариант не проходит.

[Ioda]

Думается ,что от разбиения результат тоже не зависит. Например, если не ошибаюсь, для континуальных интегралов зависимость (или независимость) результата от разбиения не доказана в общем случае.

[thething]

Antonij
Когда Вы выбираете различные наборы $\left\lbrace\xi_i\right\rbrace$, Вы получаете и различные разбиения (пусть даже отрезки останутся теми же самыми), так что Ваша фраза

Antonij в сообщении #1349699 писал(а):

Что предел не должен зависеть от выборки $\xi$ понятно. А можете ли вы привести пример, когда при различном разбиении мы получаем разные результаты?

немного непонятна. В определении интеграла участвует именно разбиение с отмеченными точками. Возьмите ту же функцию Дирихле и два способа выбора отмеченных точек (рациональные и иррациональные). При этом сами отрезки можете брать равными.

[Antonij]

Не понятно, что не понятно :)
Способ разбиения отрезка $[a,b]$ точками $x_0,\ldots,x_n$ и выбор точки $\xi_k$ в каждом $[x_{k-1},x_k]$ вещи разные.

Вопрос в том, почему я не могу доказать интегрируемость, основываясь только на том, как ведет себя интегральная сумма при разбиении на равные отрезки. Везде подчеркивается, что условие должно выполняться при любом разбиении.

[thething]

Antonij в сообщении #1349724 писал(а):

Вопрос в том, почему я не могу доказать интегрируемость, основываясь только на том, как ведет себя интегральная сумма при разбиении на равные отрезки.

Грубо говоря, выбирая только разбиение на равные отрезки, Вы считаете частичный предел, а вам нужен общий. Так уж по определению интеграла требуется. Ну а нужен ли Вам пример, когда частичный предел существует, а общего -- нет? Или Ваш вопрос состоит в том, почему определение интеграла именно такое, какое есть, а не через равные отрезки?

[Antonij]

thething в сообщении #1349730 писал(а):

Ну а нужен ли Вам пример, когда частичный предел существует, а общего -- нет? Или Ваш вопрос состоит в том, почему определение интеграла именно такое, какое есть, а не через равные отрезки?

Нужен пример, если он есть.
Если такого примера нет, то точнее было вводить определение так:
Если $\forall \varepsilon\ \exists\delta>0$ такое, что для некоторого разбиения $T$ с нормой меньше $\delta$ и любой выборки $\xi$ ...

Ну или обговаривать/доказывать этот момент после введения определения. В учебниках я такого не нашел...

[thething]

Antonij в сообщении #1349753 писал(а):

Ну или обговаривать/доказывать этот момент после введения определения. В учебниках я такого не нашел...

Видимо, потому не встречали, что есть удобный критерий: ограниченная функция $f$ интегрируема на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon>0$ существует разбиение $T$ такое, что $\sum\limits_{i=1}^{n}\omega_i(f)\Delta x_i<\varepsilon$? Возможно, ваше определение отсюда и выводится (лень проверять). Правда, непонятно, зачем в нём указано дельта (что будет, если найдётся хорошее разбиение, но с большим диаметром) и получается, что интеграл -- это уже не предел интегральных сумм при диаметре, стремящемся к нулю, каковым он задумывался изначально.

[Dan B-Yallay]

Antonij в сообщении #1349753 писал(а):

Нужен пример, если он есть.

Пример вам уже привели: функция Дирихле.

Antonij в сообщении #1349699 писал(а):

Почему, например, нельзя предполагать, что если условие выполняется для равномерного разбиения, то значит функция интегрируема.

Возьмите указанную функцию на отрезке [0,1] и посмотрите, чему будут равны частичные суммы при любых равномерных разбиениях. Сравните с произвольными.

[Antonij]

Dan B-Yallay в сообщении #1349789 писал(а):

Возьмите указанную функцию на отрезке [0,1] и посмотрите, чему будут равны частичные суммы при любых равномерных разбиениях. Сравните с произвольными.

Берем фунуцию Дирихле на отрезке [0,1]$. Рассмотрим разбиение точками $x_k=k/n$
получаем

$\sigma(\xi_Q,T)=0,\ \sigma(\xi_I,T)=b-a=1$

Для $\varepsilon=0,1$ и любого $\delta$ не найдется число $I$ такое,что $|\sigma(\xi,T)-I|<\varepsilon$.

Т. е. Вы утверждаете, что есть разбиение, где $I$ найдется? Пусть $x_1=1/n^2$ и $x_k=k/n, k>1$ ... Результат тот же.

[Dan B-Yallay]

Antonij
Я осознал, что отвечал на несколько другой вопрос, приношу извинения.

Не уверен, что понял и в этот раз правильно, но касательно равномерного разбиения есть интересный пример в виде сапога Шварца. Посмотрите. Возможно это то, что вы ищете.

[SomePupil]

Antonij, вы все правильно поняли, если я вас правильно понял)
Вы можете доказать, что ваше уточненное утверждение равносильно интегрируемости по Риману, пользуясь произвольностью выбора отмеченных точек и переходя к суммам Дарбу.

[Antonij]

Спасибо. Попробую.
Как-то странно, что такие фундаментальные вещи, напрямую связанные с важным определением, везде опускаются.

[g______d]

Antonij в сообщении #1349805 писал(а):

Как-то странно, что такие фундаментальные вещи, напрямую связанные с важным определением, везде опускаются.

Ну само-то определение хорошо в том числе и независимостью от разбиения.

А Ваше утверждение можно немного усилить так: функция интегрируема титтк для любого $\varepsilon>0$ существует разбиение, для которого разница между суммами Дарбу меньше $\varepsilon$. Или даже так: существуют два разбиения, таких что разница между верхней суммой для одного и нижней суммой для другого меньше $\varepsilon$.

[Padawan]

Antonij
Смотрите верхний и нижний интегралы Дарбу. Верхний - инфимум верхних сумм Дарбу по всем разбиениям, Нижний - супремум нижних сумм Дарбу по всем разбиениям. Функция интегрируема по Риману титтк $I^{*}=I_{*}$
Еще: для любой ограниченной функции всегда $S(T)\to I^{*}, s(T)\to I_*$ при $\delta(T)\to 0$.

[ewert]

Antonij в сообщении #1349699 писал(а):

и для любого разбиения $T$ с нормой меньше $\delta$.

Вообще-то обычно говорят не "норма", а "ранг" разбиения (или дробления). По понятным причинам: норма -- термин весьма жёсткий, а вот ранг жёстко закреплён лишь в линейной алгебре, вообще же под ним принято понимать что угодно. Даже в такой родственной области, как тензоры.

Antonij в сообщении #1349699 писал(а):

Почему, например, нельзя предполагать, что если условие выполняется для равномерного разбиения, то значит функция интегрируема.

Во-первых, это неэстетично -- допускать произвольность узлов, но не отрезков. Во-вторых, это попросту неудобно: даже в таком банальном вопросе, как аддитивность интеграла, возникают ненужные формальные заморочки. В-третьих, если сделать хоть шаг дальше -- перейти хотя бы к двойным интегралам (по Риману) -- то разбить область на одинаковые участки и вовсе не получится. И для интеграла Стилтьеса выйдет тоже как-то швах.

И вот последнее, видимо, наиболее принципиально. Поскольку с общеидеологической точки зрения интеграл любого типа есть сумма бесконечно большого количества бесконечно маленьких слагаемых. Ясно, что в общем случае сделать эти слагаемые однотипными не выйдет. Так какой смысл сбивать идеологию для случая частного?

Да, есть ещё четвёртое соображение (тоже эстетического характера). При численном интегрировании очень даже нужно бывает иногда использовать неравномерную сетку. И если заложить в определение лишь сетки равномерные, то станет не то чтоб совсем плохо, но неуютно.