Доказать, что множ-во не явл. линейным подпространством R2

[Бабай]

Привет! У меня тут такой вопрос.
Можно ли следующим образом доказать, что множество M не является линейным подпространством пространства \mathbb{R}^2:
M=\{\displaystyle{a\choose{b}}\in{\mathbb{R}}^2|3a+5b+2ab=0\}\subset{\mathbb{R}}^2

В одном форуме мне продставили следующее док-во, которое я считаю необоснованным. Однако автор так толком и не объяснил, почему он это так сделал.


Док-во:
Рассмотрим \displaystyle{-5\choose{-3}},\displaystyle{5\choose{-1}}\in{M}. Эти векторы линейно независимы, след-но M={\mathbb{R}}^2. Но например вектор \displaystyle{100\choose{100}} не является элементом из М. Противоречие. ....это всё!!!
Как он мог из независимости первых двух векторов заключить, что M=R^2??!!

[zkutch]

Любой вектор на плоскости можно линейно выразить через два линейно независимых вектора.

[Бабай]

да но как показать, что каждый вектор из R^2 представим в виде линейной комбинации двух линейно независимых векторов из М. Ведь это то,что нам нужно, не так ли? И проверка только при помощи двух таких векторов не убеждает меня.

[PAV]

Если бы М было векторным пространством, то любая линейная комбинация векторов из него также была бы элементом М. Нам предъявлены два вектора из М. Так как они линейно независимы в R2, то образуют базис R2, т.е. любой вектор из R2 представляется как линейная комбинация этих двух. Значит, любой вектор из R2 принадлежит и M. Но это не так, нам предъявлен пример. Значит, M не линейное пространство.

[zkutch]

Возьмем любой вектор на плоскости. Он линейно выразится через пару линейно независимых векторов из М. Т.е. его будет представлять какая-то линейная комбинация этих двух векторов. Если М к тому же и подпространство, то эта линейная комбинация будет находиться в М. Получилось что взятый в начале любой вектор на плоскости находится в М. И, значит, плоскость совпадет с М.

Единственное, что может нарушить эту цепочку, это то, что М не подпространство.

Вообще-то можно и в лоб доказать. Но щас убегаю и загляну часа через четыре-пять.

[Yuri Gendelman]

Бабай писал(а):

Как он мог из независимости первых двух векторов заключить, что M=R^2??!!

Так как эти два 2-вектора л.н., то если они образуют линейное п.п., то это п.п должно быть 2-мерным. А следовательно это линейное п.п. (если существует) должно совпадать с $R^2$. Но вектор (100, 100) не принадлежит M. Значит M не совпадает с $R^2$. Противоречие.

Дополнение. Жаль не видел 2х последних постов. Как мы дружно на Бабая!

[bot]

Видимо ещё проще показать явное нарушение хотя бы одной из аксиом линейного пространства.
В множестве М, очевидно, есть ненулевые вектора. Умножение любого из таких векторов на -1 выводит за пределы множества М.
Возьмём для примера вектор $(-5, -3)$ - он удовлетворяет соотношению $3a+5b + 2ab=0$, а вектор $(5, 3)$ ему не удовлетворяет.

[Бабай]

Предпологалось, что я эту задачу должен был решать, используя только критерий для подпространств. Прочитав ещё немного теории, мне особенно понравилось, что написал PAV по этому поводу. Если бы мне тот автор с другого форума также объяснил как вы это сделали, я б давно понял. Вообще я сам пытался только проверить аксиомы, т.е. решить в лоб, только при этом что-то подозрительное получается.

Я думал...Пусть \displaystyle{a_1\choose{b_1}},\displaystyle{a_2\choose{b_2}}\in{\mathbb{R}}^2, такие что 3a_1+5b_1+2a_1b_1=0,3a_2+5b_2+2a_2b_2=0, и пусть М подпространство, т.е.
3(a_1+a_2)+5(b_1+b_2)+2(a_1+a_2)(b_1+b_2)=0, 3{\lambda}a_1+5{\lambda}b_1+2{\lambda}^2a_1b_1=0, 3{\mu}a_2+5{\mu}b_2+2{\mu}^2a_2b_2=0,
тогда 3({\lambda}a_1+{\mu}a_2)+5({\lambda}b_1+{\mu}b_2)+2({\lambda}a_1+{\mu}a_2)({\lambda}b_1+{\mu}b_2)=0\Longleftrightarrow{a_1b_2+a_2b_1=0}
таким образом, если последнее равенство выполняется, то вместе с \lambda\displaystyle{a_1\choose{b_1}}+\mu\displaystyle{a_2\choose{b_2}}=\displaystyle{\lambda{a_1}+\mu{a_2}\choose{\lambda{b_1}+\mu{b_2}}}\in{M}
следует, что \lambda=a_2=b_2,\mu=a_1=b_1
Отсюда видно, что, если М действительно подпространство пространства R^2, то хотя бы один из векторов в линейной комбинации должен быть нулевым. Однако, если один нулевой вектор, то другой может быть любым вектором из R^2. След-но, M=R^2, о чём можно возразить большим число контрпримеров.

Теперь ваша критика...
Помните, что я новичок (в линейной алгебре вообще), поэтому если что ошибочно, то прошу объяснять терпеливо и доходчиво.

[Бабай]

так что правильно или бред это всё??
как бы вы тогда решили эту задачу в лоб?

[bot]

А Вы хотя бы читаете, что Вам пишут?
Опровергнуть гипотезу, что М подпространство, можно многими способами.
На другом форуме Вам уже сказали: если подпространство двумерно и лежит в двумерном пространстве, то оно совпадает со всем пространством. Поэтому для опровержения гипотезы достаточно указать в М два неколлинеарных вектора. Разными словами Вам и здесь это пытались втолковать.
Решение в лоб тоже перед Вами:
Чтобы опровергнуть гипотезу, достаточно опровергнуть хотя бы одно из определяющих подпространство свойств:
(1) Если $x \in M$ и $y \in M$ , то $x+y \in M$
(2) Если $x \in M$, то $\lambda x \in M$ для любого $ \lambda

Для опровержения (2) берём $ \lambda = -1 и $ x=(-5,-3)

[Бабай]

Bot, ну зачем сразу сердиться и главное из-за чего? Со мной кстати мжно на "ты"...я же и у тебя дома!Смотри не обижай меня, а то ночью напугаю!!!

Да нет, я всё читаю и со всеми решениями тоже полностью согласен. За все решения всю команду очень благодарю!!!

Только решениями, сделанными другими, я никогда сыт не бываю. Всегда ищу другое, своё, пусть и сложнее, и пусть оно в итоге и неправильным оказывается...для меня главное процесс, попытка. Кстати, на других форумах даже и не смотрят, если с самого начала не представил своих, пусть и бредовых, попыток, и правильно.

Конечно, и я в самом начале привёл для себя контрпримеры, при которых критерий подпространсва нарушается, это же самый лёгкий и логичный способ, полностью согласен.
Были просто задачи, в которых мы проверяли множества на выполнение критерия только исходя из преобразований например уравнений, неравенств, описывающих множество, причём для любых веткоров. Это как раз то, что я тоже в самом начале думал сделать, и после всех объяснений написал...только никто не ответил, вот и подумал, что действительно бред написал.

Вообще часто просто я не знаю,что от задачи ожидать. Думаешь, элементарно...сидишь, сидишь, решение простое...потом проверят домашнюю или посмотрел ответ и убеждаешься, что направление было хоть и правильное, но аргументов недостаточно. Обратно, решаешь, думаешь, что задача требует много деталей, а оказывается в две строчки уложиться мог бы. Может опыта просто не хватает, или мозгов...но я всё-равно пытаюсь, потому что это мне нравится.

С ПРИВЕТОМ!
Бабай

[bot]

Бабай писал(а):

Bot, ну зачем сразу сердиться и главное из-за чего? Со мной кстати мжно на "ты"...я же и у тебя дома!Смотри не обижай меня, а то ночью напугаю!!!

Эт-т я разве сержусь? Можно и на ты - мне не в падлу.
Ладно, попробую представить себе, что я впервые увидел, что такое линейное пространство и что такое его подпространство, никаких теорем ещё не знаю, знаю только определение. А их два эквивалентных:
1) См выше и
2) Для любых векторов $x,y \in M $ и любых скаляров $\lambda , \mu$ вектор $\lambda x + \mu y$ принадлежит $ M $
Каким из определений проще воспользоваться? В общем-то понятно. Если в положительную сторону, то лучше вторым, чтобы не повторяться, а если в отрицательную, то, видимо, надо избрать первое - там легче найти контрпример. Впрочем для начинающего, лучше избрать первое. Если получится, то потом объединим, а нет так найдём опровержение.
На этот раз, в отличие от предыдущего, изберём первое из составлящих требований первого определения, хотя второе требует меньше писанины.
Пусть числа $a_1, b_1, a_2, b_2 $, удовлетворяют равенствам
$3a_i + 5b_i + 2 a_i b_i = 0 , \ \ i=1,2$
Их сложением получаем:
$3(a_1 + a_2) + 5(b_1 + b_2) + 2(a_1b_1 + a_2 b_2) = 0 $
А надо, что? Правильно, чтобы выполнялось требование $x+y \in M $, надо чтобы выполнялось равенство:
$3(a_1 + a_2) + 5(b_1 + b_2) + 2(a_1+a_2)(b_1 + b_2) = 0 $
Правдоподобно ли, что эти два равенства выполняются одновременно? Ну уж, наверно, нет. Ну так давай поищем хотя бы одну опровергающую конкретику. Для начала последуем мудрому правилу: при малом выборе возможностей искать легче. Ограничиваем наш выбор - пусть $x=y$, то есть a_1=a_2=a, b_1=b_2=b
Тогда эти равенства превращаются в
$6a + 10b + 4ab=0$ и $6a + 10b + 8ab=0$
Одновременно они могут выполниться лишь при $ab=0$
Ну вот и опровержение: берём вектора $x, y \in M $ одинаковыми и с ненулевыми координатами, хотя бы и тот же: $x=y=(-5,-3)$.