Асимптотика суммы (1/k)^{1/k} k=1..n

[kthxbye]

$$\sum\limits_{k=1}^{n}(1/k)^{1/k}\approx n-\frac{\ln^2(n)}{2}+1$$

Сходится ли разность между приближением и реальным значением к константе при $n\to\infty$? Если нет, то как можно улучшить приближение?

[thething]

Вы бы написали, как именно такое получили. А так могу предложить зажать сумму между двух интегралов и брать в этих интегралах побольше первых членов соответствующих рядов Тейлора.

[kthxbye]

Если исключить возможность внедрения мыслей от человека (либо иного разумного субъекта) к человеку без прямого контакта и/или без участия любого информационного носителя, то это приближение я получил сам абсолютно случайно в экселе.

[mihaild]

$\left(\frac{1}{k}\right)^\frac{1}{k} = \exp(\frac{- \ln k}{k})$
Расписываем экспоненту через ряд и пристально смотрим на первые два члена и все остальные.

(а еще если интересует приближение с точностью до константы, то единица в правой части не нужна)

[thething]

kthxbye
Ну у меня примерно так же получается по предложенному мной способу (через первые два члена ряда), так что.. (см. также совет mihaild). А далее уточнять можно сколько угодно)

[worm2]

Похоже, что разность можно записать в виде

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\zeta^{(n)}(n)}{n!}$$

(в числителе стоит $n$-я производная дзета-функции Римана в точке $n$).