Что такое параксиальный луч?

[reterty]

Очень часто в учебниках по оптике остается "недосказанным" определение параксиального луча (п. л.).
Так в русско-язычной Википедии дается следующее определение: "п. л. -это луч идущий под малым углом
к главной оптической оси". В то же время наиболее точное и нерасплывчатое определение приведено в
физической энциклопедии: "п. л. -это лучи распространяющихся вдоль оси центрированной оптической системы
и образующих очень малые углы с осью и нормалями к преломляющим и отражающим поверхностям системы."
Именно эта вторая часть формулировки иногда опускается в хэндбуках. Во избежание "формирования" этой неполноты я предлагаю
рассматривать со студентами следующую проблему: "широкий параллельный пучок света падает на стеклянный
шар с относительным показателем преломления $n>1$ и радиусом $R$. Определить расстояние $0<d_{\rm cr}<R$ от некоторого
критического луча, который разделяет входной пучок света на расходящиеся и сходящиеся за "линзой" пучки", до главной оптической оси.
Дело в том, что при прохождении параллельных пучков через собирающую линзу, периферийные лучи собираются в фокусах,
лежащих ближе к линзе нежели приосевые (сферическая аберрация) и для достаточно толстых линз "могут залезть внутрь них".
Так и в данной задаче. Подчеркну, все лучи из пучка образуют нулевые углы с главной оптической осью (ГОО).
Однако по мере "удаления" луча от ГОО увеличивается его угол падения (а следовательно, и угол преломления) на переднюю
поверхность. Расчет дает (подробные выкладки я могу выложить для проверки): $d_{\rm cr}=\frac{nR}{2}\sqrt{4-n^2}$. При $n=1.92$
(флинтглас) получаем: $d_{\rm cr}\approx 0.53R$. Для сред с меньшим показателем преломления требуются большие чем $2R$ толщины линз.
Таким образом в данной задаче существуют лучи, которые даже качественно (!) не могут считаться параксиальными, не смотря на нулевые
углы, которые они образуют с ГОО.

[DimaM]

Хороший пример.
По-моему, правильное определение - идущий на малом расстоянии, про малые углы - отсебятина от педивикии.

[reterty]

DimaM в сообщении #1349911 писал(а):

Хороший пример.
По-моему, правильное определение - идущий на малом расстоянии, про малые углы - отсебятина от педивикии.

вот это "на малом расстоянии" меня тоже смущает.....что значит на малом расстоянии?

[DimaM]

reterty в сообщении #1349912 писал(а):

вот это "на малом расстоянии" меня тоже смущает.....что значит на малом расстоянии?

Малом по сравнению с радиусом кривизны?

[Munin]

Тут, конечно, математического определения не вырисовывается. Нужно физическое. Мне кажется, необходимо и достаточно оговорить, чем мы пренебрегаем при рассмотрении таких лучей.

[Gleb1964]

Параксиальная оптика основана на том, что в приближении малых углов тригонометрические функции могут быть упрощены приближениями типа $ \tg(\alpha )\approx \sin(\alpha )\approx \alpha $ и $ \cos(\alpha )\approx 1 $. В оптике параксиальных лучей можно закон преломления записать $ n_{ } \alpha = n{'}_{ } \alpha {'} $ вместо $ n_{ } \sin(\alpha )= n{'}_{ } \sin(\alpha {'}) $, а толщины преломляющих элементов привести к воздуху делением на показатель преломления $ d / n $.

[Gleb1964]

Вчитавшись еще в стартовый пост, замечу, что сферическая аберрация отсутствует в приближении параксиальной оптики. Таким образом, то что предлагается рассмотреть на несколько туманно изложенном примере шаровой линзы, есть по сути, рассмотрение сферической аберрации и демонстрация нарастающей разницы между ее учетом и игнорированием.
В программе Zemax, например, существует специальный вид элементов Paraxial, моделирующих параксиальные линзы, не имеющие сферической аберрации, т.е. линзы, работающие по законам Гауссовой оптики. Хорошей моделью такого параксиального элемента может быть линза с очень большим показателем преломления (идеально - с бесконечным), с малыми кривизнами поверхностей и толщиной. При этом такой элемент остается параксиальным даже для больших расстояний лучей от оптической оси и для больших углов падения. При показателе преломления стремящемся к бесконечности, преломленный луч будет стремиться к перпендикуляру к поверхности независимо от угла падения. Поэтому набег оптического хода в таком элементе для волновых фронтов, идущих под любыми углами к оптической оси будет одинаковым и будет влиять только на фокусировку пучка.