Доказать по индукции интеграл

[math1love]

Помогите, пожалуйста, доказать формулу

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2m}\cos(nx)\,dx=2(2m)!\sum\limits_{k=0}^{m-1}(-1)^k\frac{\pi^{2m-2k-1}}{n^{2k+2}(2m-2k-1)!}\cos(\pi n)$$

С базой индукции нет проблем, но когда пытаюсь доказать индукционный переход, попадаю в тупик.
Вот как пытался я:
Предположим, что

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p}\cos(nx)\,dx=2(2p)!\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k-1}}{n^{2k+2}(2p-2k-1)!}\cos(\pi n)$$

и докажем, что

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p+2}\cos(nx)\,dx=2(2p+2)!\sum\limits_{k=0}^{p}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k+1}}{n^{2k+2}(2p-2k+1)!}\cos(\pi n)=$$

$$=2(2p+2)!\left((-1)^p\frac{\pi}{n^{2p+2}}\cos(\pi n)+\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k+1}}{n^{2k+2}(2p-2k+1)!}\cos(\pi n)\right).$$

Интегрируем по частям:

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p+2}\cos(nx)\,dx=\frac2{n}\int\limits_0^{\pi}x^{2p+2}d\sin nx=\underbrace{\left.\frac2nx^{2p+2}\sin(nx)\right|\limits_0^{\pi}}_{=0}+\frac{2(2p+2)}{n^2}\int\limits_0^{\pi}x^{2p+1}d\cos nx==$$

$$\left.\frac{2(2p+2)}{n^2}x^{2p+1}\cos(nx)\right|\limits_0^{\pi}-\frac{2(2p+2)!}{(2p)!n^2}\int\limits_0^{\pi}x^{2p}\cos nxdx=\frac{2(2p+2)!\pi^{2p+1}}{(2p+1)!n^2}\cos(\pi n)-\frac{2(2p+2)!}{(2p)!n^2}\int\limits_0^{\pi}x^{2p}\cos nxdx$$

Далее вместо интеграла подставляем нашу формулу:

$$\frac{2(2p+2)!\pi^{2p+1}}{(2p+1)!n^2}\cos(\pi n)-\frac{2(2p+2)!}{(2p)!n^2}\cdot 2(2p)!\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k-1}}{n^{2k+2}(2p-2k-1)!}\cos(\pi n)$$

а дальше я не знаю как свести к нужно формуле..

[thething]

Во-первых, перепроверьте своё интегрирование по частям, во-вторых, не переходИте к отрезку $[0,\pi]$, и, в-третьих, после того, как исправите все ошибки в интегрировании по частям, попробуйте сделать замену индекса суммирования $k\to k-1$.

UPD. Хотя, вроде нет ошибок в интегрировании, а я не понял, зачем Вы там перед последним интегралом факториалы написали. Писали бы как есть, а к факториалам переходили уже потом, когда суммой заменяете.

[math1love]

thething в сообщении #1349700 писал(а):

Во-первых, перепроверьте своё интегрирование по частям, во-вторых, не переходИте к отрезку $[0,\pi]$, и, в-третьих, после того, как исправите все ошибки в интегрировании по частям, попробуйте сделать замену индекса суммирования $k\to k-1$.

Интегрирование перепроверил, все было верно, но пределы оставил, как вы посоветовали:

$$\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^{2p+2}\cos(nx)\,dx=\frac1{n}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^{2p+2}d\sin nx=\underbrace{\left.\frac1nx^{2p+2}\sin(nx)\right|\limits_{-\pi}^{\pi}}_{=0}-\frac{(2p+2)}{n}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^{2p+1}\sin nxdx=$$

$$=\frac{(2p+2)}{n^2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^{2p+1}d\cos nx=\left.\frac{(2p+2)}{n^2}x^{2p+1}\cos(nx)\right|\limits_{-\pi}^{\pi}-\frac{(2p+2)(2p+1)}{n^2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^{2p}\cos nxdx=$$

$$=\frac{2(2p+2)\pi^{2p+1}}{n^2}\cos(\pi n)-\frac{(2p+2)(2p+1)}{n^2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^{2p}\cos nxdx$$

Далее подставляем нашу формулу:

$$\frac{2(2p+2)\pi^{2p+1}}{n^2}\cos(\pi n)-\frac{(2p+2)(2p+1)}{n^2}\cdot 2(2p)!\sum\limits_{k=0}^{p-1}(-1)^k\frac{\pi^{2p-2k-1}}{n^{2k+2}(2p-2k-1)!}\cos(\pi n)$$

Насчет индекса не понял..

[thething]

math1love в сообщении #1349706 писал(а):

Насчет индекса не понял..

Ну сделайте в сумме замену $k=l-1$.

[math1love]

thething в сообщении #1349707 писал(а):

Ну сделайте в сумме замену $k=l-1$.

Получил тогда вот так:

$$\frac{2(2p+2)\pi^{2p+1}}{n^2}\cos(\pi n)+2(2p+2)!\cdot \sum\limits_{l=1}^{p}(-1)^{l}\frac{\pi^{2p-2l+1}}{n^{2l+2}(2p-2l+1)!}\cos(\pi n)$$

[thething]

math1love в сообщении #1349708 писал(а):

Получил тогда вот так:

Ваш вопрос исчерпан? Или ещё непонятно?

[math1love]

thething в сообщении #1349710 писал(а):

math1love в сообщении #1349708 писал(а):

Получил тогда вот так:

Ваш вопрос исчерпан? Или ещё непонятно?

А первое слагаемое перед рядом это слагаемое при $l=0$?

[thething]

Ну проверьте, или на это нужно разрешение?))) Кстати, нет смысла писать $\cos(\pi n)$. Вместо этого обычно пишут $(-1)^n$ (просто на случай, вдруг Вы не знали).

[math1love]

thething в сообщении #1349712 писал(а):

Ну проверьте, или на это нужно разрешение?))) Кстати, нет смысла писать $\cos(\pi n)$. Вместо этого обычно пишут $(-1)^n$ (просто на случай, вдруг Вы не знали).

Я это знал, просто при разложении в ряд Фурье при $x=\pi$ $\cos(\pi n)$ будет уже в квадрате и благополучно превратится в единицу)
Спасибо большое за наводку к решению!