Стохастический процесс, характеристическая функция

[Makarena]

Доброе утро, коллеги.

Тут задачка:
Дано $\sigma$ - детерминистическая функия, которая удовлетворяет условию $\int_{0}^{t} \sigma^2(s)ds < \infty$ для всех $t \geqslant 0$
Дан процесс $X(t) = \int_{0}^{t} \sigma(s)dW(s) $. W(s) - Винеровский процесс.

Нужно показать, что для фиксированного $t$, характеристическая функция для $X(t)$ представлена в таком вот виде:

$E[e^{iuX(t)}] = e^{-\frac{u^2}{2}\int_{0}^{t}\sigma^2(s)ds}, u \in R$.

_____________________________

Собственно что я сделал:

Выбрал функцию $e^{iuX(t)}$ и написал для неё Ито процесс:

$f(x,t) = e^{iuX(t)}, f_{x} = iue^{iuX(t)}, f_{t} = 0, f_{xx} = -u^2e^{iuX(t)}, dx = \sigma(t)dW(t), [dxdx] = \sigma^2(t)dt$

В итоге:
$d(f(x, t)) = iue^{iuX(t)} \sigma(t) dW(t) - \frac{1}{2}u^2e^{iuX(t)}\sigma^2(t)dt $
$e^{iuX(t)} = 1 + \int_{0}^{t}iue^{iuX(s)} \sigma(s) dW(s) - \int_{0}^{t} \frac{1}{2}u^2e^{iuX(s)}\sigma^2(s)ds$
А вот дальше чё-то тупик. Если я беру математическое ожидание от левой части, то получаю нужную мне характеристическую функцию, а вот от правой, получаю $1 +$ интеграл от $ds$ ибо стохастический интеграл в 0 обращается.
Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так или что я упускаю.

[dsge]

Вам обязательно доказывать таким путем?
Формула будет очевидна, если учесть, что процессы Ито такого рода будут при каждом $t$ иметь нормальное распределение с нулевым мат.ожиданием и дисперсией $\int_{0}^{t} \sigma^2(s)ds$.

[Makarena]

Уважаемый dsge, да, обязательно. Однако я вот ща выспался и неожиданно озарение спустилось.
Продолжу.
Берём мат ожидание и говорим спасибо господину Фубини с его братом Тонелли $+$ я так понимаю, $\sigma^2(s)$ выйдет из оператора матожидания как она сама т.к. это детерминистическая функция:
$E[e^{iuX(t)}] = 1 + 0 - \int_{0}^{t} \frac{1}{2}u^2E[e^{iuX(s)}]\sigma^2(s)ds$
Обозначим $E[e^{iuX(t)}] = \varphi(t), \varphi(0) = 1$
Возьмём производную по t:

$\frac{d}{dt}\varphi(t) = -\frac{1}{2}u^2\varphi(t)\sigma^2(t)$
$\frac{d}{d(\varphi(t))}\varphi(t) = -\frac{1}{2}u^2\sigma^2(t)dt$
$\ln(\varphi(t)) = - \int_{0}^{t} \frac{1}{2}u^2\sigma^2(s)ds + C$ ( $= 0$ из условия)

Ну и собственно ответ.
Так ведь можно?

[dsge]

Да, кажется, все верно, но моим путем представляется проще.

[Makarena]

Ваш способ тоже правильный и намного более эффективный, но нас заставили именно вот таким вот боком подходить к вопросу.
Ок, спасибо большое.