Цикличность группы автоморфизмов конечного поля.

[Duelist]

Ниже фрагмент лекции с доказательством цикличности группы автоморфизмов конечного поля.



Мне быстро показалось, что здесь лучше воспользоваться соответствием Галуа. Прошу проверить рассуждение.

$(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p)$ - расширение Галуа, как поле разложения сепарабельного многочлена $x^{p^n}-x$ над $\mathbb{Z}_p$. Поскольку $\mathbb{Z}_p$ - простое подполе, всякий автоморфизм $\mathbb{F}_{p^n}$ оставляет его неподвижным. Поэтому $Aut(\mathbb{F}_{p^n})= Gal(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p)$. $deg(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p) = n$, следовательно $|Gal(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p)|=n$. Автоморфизм Фробениуса оставляет $\mathbb{Z}_p$ на месте, поэтому принадлежит группе Галуа расширения. Далее, порядок циклической подгруппы в $Gal(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p)$, порождаемой автоморфизмом Фробениуса равен $n$, что можно проверить по действию автоморфизма Фробениуса на образующей мультипликативной группы $\mathbb{F}_{p^n}^*$ (которая циклична). Значит автоморфизм Фробениуса порождает $Gal(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p)=Aut(\mathbb{F}_{p^n})$.

[iou]

А в каком моменте, собственно, используется соответствие Галуа?
Кстати, обозначение $\mathbb{Z}_p$ обычно используется для кольца $p-$адических чисел, иногда его ещё используют для кольца вычетов. Поле обычно обозначают $\mathbb{F}_p$.

[Munin]

(Оффтоп)

$\mathbb{Z}_p$ используется много для чего, даже для группы вычетов по сложению, это перегруженное обозначение, по Wikipedia. Если $\mathbb{Z}_p$ - кольцо вычетов, а $p\in\mathbb{P}$ (как обычно и используется эта буква), то оно поле.

[Duelist]

iou в сообщении #1348505 писал(а):

А в каком моменте, собственно, используется соответствие Галуа?

Степень расширения $deg(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p) = n$ отождествляется с порядком группы Галуа расширения $|Gal(\mathbb{F}_{p^n}/ \mathbb{Z}_p)|$. Впрочем, вопрос закономерен, поскольку, во-первых, здесь не используется соответствие между подгруппами и промежуточными расширениями, во-вторых, если $(\mathbb{K}/ \mathbb{F})$ - некоторое расширение, то такое утверждение верно для произвольной конечной группы автоморфизмов поля $\mathbb{K}$, если множество всех точек, неподвижных относительно действия данной группы, есть $\mathbb{F}$.

Но тут скорее вся интуиция оттуда. В частности, последнее приведённое мной утверждение очень существенно используется в док-ве основной теоремы теории Галуа.

iou в сообщении #1348505 писал(а):

Кстати, обозначение $\mathbb{Z}_p$ обычно используется для кольца $p-$адических чисел, иногда его ещё используют для кольца вычетов. Поле обычно обозначают $\mathbb{F}_p$.

Ну, это как раз кольцо вычетов. Ясно, что по простому модулю, потому поле, как отметил Munin. Какое именно конечное поле с заданным количеством эл-тов брать - не важно, ввиду изоморфизма. Но этот вариант, вроде, наиболее удобен. Хотя, обозначить может лучше и $\mathbb{F}_p$. Можно ещё конечные поля обозначать $\mathbf{GF}(p^n)$.

[iou]

Duelist в сообщении #1348573 писал(а):

если $(\mathbb{K}/ \mathbb{F})$ - некоторое расширение, то такое утверждение верно для произвольной конечной группы автоморфизмов поля $\mathbb{K}$, если множество всех точек, неподвижных относительно действия данной группы, есть $\mathbb{F}$.

Это эквивалентно тому, что данное расширение является расширением Галуа с группой Галуа, равной этой конечной группе.

А решение верное, да.

[Duelist]

iou в сообщении #1348595 писал(а):

Это эквивалентно тому, что данное расширение является расширением Галуа с группой Галуа, равной этой конечной группе.

Ну да, потому что если $\mathbb{F}$ - неподвижное поле для конечной группы автоморфизмов $G$, то $G$ - мн-во всех автоморфизмов, оставляющих поле $\mathbb{F}$ неподвижным. Но вот это как раз такие вещи, которые формулируются до доказательства основной теоремы теории Галуа, а после в подходящих случаях как раз и удобнее говорить в терминах соответствия Галуа, даже если оно используется "слабо", кмк.

[Qlin]

(Оффтоп)

iou в сообщении #1348505 писал(а):

Кстати, обозначение $\mathbb{Z}_p$ обычно используется для кольца $p-$адических чисел, иногда его ещё используют для кольца вычетов.

А какие ещё обозначения бывают для кольца вычетов?

[g______d]

Qlin в сообщении #1348662 писал(а):

А какие ещё обозначения бывают для кольца вычетов?

$\mathbb Z/p\mathbb Z$, $\mathbb Z/p$, $\mathbb Z/(p)$.