8 прямых на поверхности 4-го порядка

[Volik]

Всем доброго дня.
На поверхности
$2 \cdot z \cdot x^2-2 \cdot z \cdot y^2-y^2+z^2+x^2 \cdot y^2-x^2 \cdot z^2=0$

есть 8 прямых линий ($ \pm x =\pm y =\pm z =t $)
Представляют ли они образующую этой поверхности? То есть, можно ли их движением получит линию, проходящую через любую точку поверхности? Например через $ (x = 2/11, y = 5/44, z = 25/264) $.
Посмотреть на вид поверхности удалось только на сайте kontrolnay-rabota,ru. Не помогло. (может кто подскажет подходящую программу?)
Исходный вид уравнения $\frac{2 \cdot z}{y^2-z^2}=\frac{1-x^2}{x^2-y^2}$ тоже не помог.
Главное, можно ли найти ВСЕ рациональные точки этой поверхности?

Заранее всем благодарен за конструктив!

[wrest]

Вид поверхности показывает вольфрам альфа https://www.wolframalpha.com/input/?i=p ... *z%5E2%3D0

[Volik]

Спасибо за ссылку, но мою поверхность он не показал ни при какой форме записи уравнения! Пробовал варианты LaTex, Maple, по их примеру поверхности. Последний вариант, добавил в их примере пробелы, то есть "plot2 z x^2-2 z y^2-y^2+z^2+x^2 y^2-x^2 z^2 = 0". Не выводит!
Может подскажете, в чем дело (кроме моей тупости)

[wrest]

Volik
Не знаю, у меня сегодня ссылка не работает. А вчера (когда постил) работала. Но, правда, вчера то же сперва не работала а потом заработала.
Может как-то от времени суток зависит...

О! Опять заработала:

[Vince Diesel]

В математике график рисуется так

fn = 2 z x^2 - 2 z y^2 - y^2 + z^2 + x^2 y^2 - x^2 z^2
m = 5; ContourPlot3D[fn == 0, {x, -m, m}, {y, -m, m}, {z, -m, m}]

А поверхность линейчатой не будет, для направляющего вектора прямой $\bar l= \left\{l_1,l_2,l_3\right\}$ подстановка уравнения прямой $A+t\bar l$ в параметрическом виде

{x0, y0, z0} = {2/11, 5/44, 25/264};
line = Table[Subscript[l, k], {k, 3}]
Reduce[ForAll[ t, (fn /. {x -> x0 + t Subscript[l, 1], y -> y0 + t Subscript[l, 2], z -> z0 + t Subscript[l, 3]}) == 0], line]

дает $l_1=0\land l_2=0\land l_3=0$.

Посмотреть можно здесь скопировав текст и нажимая Shift+Enter.

[Volik]

Спасибо Volik, Vince Diesel.
С трудом удалось посмотреть поверхность и там и там. Совершенно разные виды поверхности!
Кому верить? По отрицанию линейчатости Vince Diesel, скорее Wolfram Cloud? Хотя там не видно ни одной из 8 прямых. Вообще странно, и там и там Wolfram.

[Vince Diesel]

Поверхность в Альфе, если задать командой ParametricPlot3D, та же самая.

А прямую, скажем $x=y=z$, можно построить на том же графике:

gr1 = ContourPlot3D[fn == 0, {x, -m, m}, {y, -m, m}, {z, -m, m}];
gr2 = ParametricPlot3D[{t, t, t}, {t, -m, m}, PlotStyle -> Red];
Show[gr1, gr2]

[Volik]

Спасибо, Vince Diesel. Но, вроде на графике не все точки прямой принадлежат поверхности? Может еще поясните, почему из

Vince Diesel в сообщении #1348067 писал(а):

дает $l_1=0\land l_2=0\land l_3=0$.

следует нелинейчастость поверхности?

[arseniiv]

Это значит, что для вашей точки $A$ только для $\vec l = \vec0$ множество $A + \langle\vec l\rangle = \{ A + t\vec l : t\in\mathbb R \}$ лежит на поверхности. Значит, никакая прямая, проходящая через $A$, на поверхности не лежит — потому что такая прямая — это множество $A + \langle\vec l\rangle$ для ненулевого $\vec l$. Значит, она не линейчатая.

Volik в сообщении #1348073 писал(а):

Совершенно разные виды поверхности!

Просто интервалы изменения координат разные.

[Volik]

Спасибо, arsseniiv. Поиграл на "альфе" с масштабами (там мне проще), очень наглядно! Но он почему то отказывается показывать поверхность для интервалов по (-1<x,y,z<1)! А жаль.

[Vince Diesel]

Volik в сообщении #1348117 писал(а):

Но, вроде на графике не все точки прямой принадлежат поверхности?

В самой математике проблем нет. Кроме того, график можно вращать. Отклонений прямой от поверхности не заметно.

[Volik]

Спасибо. Я понимаю, что визуализация скорее помогает в поиске правильных вопросов, чем дает ответы. Главное, поверхность не линейчатая и ,увы, придется искать другие варианты поиска рациональных точек.