Преобразование случайной величины

[dd210]

Привет.

Такой вопрос: пусть у нас есть некое множество $S_1$ в $R^n$, которое мы отображаем с помощью $F$ инъективно в множество $S_2$ лежащее в $R^m$, причем $m > n$. Если на $S_1$ была задана плотность вероятности $p(x)$, то можно ли сказать что $F$ индуцирует плотность вероятности $p'(x)$ на $S_2$, и если да, то какая будет формула для нее?

Я представляю что будет если мы имеем дело с биективным отображением (https://en.wikipedia.org/wiki/Probabili ... _variables), но не понимаю что происходит в моем случае (нужно определять новое распределение $p'(x)$ через метрический тензор -- ??)

[DeBill]

dd210
Ну вот пусть случайная величина - равномерно распределена на отрезке. Но отрезок этот лежит в плоскости..
Вот - есть у нее плотность, или ее нет?
Ответ, конешно, "да"
Нет - в смысле классического определения плотности.
И да - если "плотность" трактовать расширенно (в смысле обобщенных функций, например). И, на самом деле, это никакая не экзотика - физики вполне нормально оперируют понятиями "линейная плотность" (плотность массы тонкой проволоки (кривой, по нашему)), плотность поверхностная распределения заряда, и т.п. Для Вашего примера - можно ввести плотность распределения на образе $F(S_1)$, а вероятности считать , вычисляя поверхностный интеграл первого рода от этой плотности.
Формула для плотности при этом фактически будет такая же, как для биекции (только якобиан придется считать по матрице Грама - ну, как и делается для поверхностных интегралов ).

-- 21.10.2018, 02:27 --

А, кстати, в этой вашей Вики, так реально и делают - используя дельта-функцию

[mihaild]

DeBill в сообщении #1347988 писал(а):

И да - если "плотность" трактовать расширенно (в смысле обобщенных функций, например).

А что в качестве пробных функций брать? Особенно если $S_2$ скажем неизмеримое.

[DeBill]

mihaild в сообщении #1347989 писал(а):

если $S_2$ скажем неизмеримое.

Я по жизни человек гладкий (и даже аналитический!). И задачи рассматриваю именно с такой точки. Так что если отображение хоть чуток гладкое - никакие проблемы не возникнут (а обобщенная функция будет - да самая обычная, из $D'$ на $\mathbb{R}^m$)

-- 21.10.2018, 02:51 --

Но вопрос - в негладком случае - интересный. Вот, для кривой Пеано - что будет?

[mihaild]

Кривая Пеано как кривая не является инъективным отображением, а как образ не является интересным множеством:)

Если $F$ произвольная, то даже при хорошем образе получающаяся сигма-алгебра может быть плохой (такой, что относительно нее даже не все гладкие функции измеримы).

[DeBill]

mihaild в сообщении #1347997 писал(а):

Кривая Пеано как кривая не является инъективным отображением, а как образ не является интересным множеством:)

Меры при неинъективных отображениях прекрасно переносятся; мера (новая ) множества есть мера (старая) прообраза множества. Образ - неинтересен. Но вот мера - ДА!

[mihaild]

Инъективность требовалась в начальном посте:)
Она вроде бы (в варианте Гилберта, как минимум) индуцирует стандартную меру: мера каждого из четырех подквадратов получится по $\frac{1}{4}$, мера каждого квадрата со стороной $2^{-n}$ и координатами левого нижнего угла $(k 2^{-n}, m 2^{-n})$ соответственно получается $4^{-n}$, а этими квадратами уже вся боррелевская сигма-алгебра порождается.