Разложить в ряд тейлора методом почленного диференцирования

[tremor]

.... И, продолжая заголовок интегрирования.

Дано:

$$f(x) = \frac{1}{x^2} \quad x_0 =3$$

Что нужно делать? Я ниразу не сталкивался с подобным подходом, по этому сначала что попроще, от частного к общему, а то из теории пока ничего не ясно.
Я только умею использовать

$$\sum \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n$$

Но это как я понял совсем не то

[Dan B-Yallay]

tremor в сообщении #1346532 писал(а):

Но это как я понял совсем не то

Поясните, как Вы поняли то, что это "совсем не то".

[Someone]

А точно ли речь идёт именно о "почленном" дифференцировании? Может быть, о каком-то другом?

[thething]

tremor в сообщении #1346532 писал(а):

И, продолжая заголовок интегрирования.

Из этого уточнения я понял, что надо разложить в ряд, используя свойства дифференцируемости или интегрируемости суммы степенного ряда (ТС, поправьте, если что). Тогда начните с такой замены переменной, чтобы оказаться в окрестности нуля (у Вас по заданию пока что окрестность 3), потом подумайте, на какое стандартное разложение намекает получившаяся после замены функция (может быть придется ее предварительно продифференцировать или, наоборот, найти первообразную).

[tremor]

Someone в сообщении #1346580 писал(а):

А точно ли речь идёт именно о "почленном" дифференцировании? Может быть, о каком-то другом?

Точно

-- 16.10.2018, 12:37 --

thething в сообщении #1346595 писал(а):

tremor в сообщении #1346532 писал(а):

И, продолжая заголовок интегрирования.

Из этого уточнения я понял, что надо разложить в ряд, используя свойства дифференцируемости или интегрируемости суммы степенного ряда (ТС, поправьте, если что). Тогда начните с такой замены переменной, чтобы оказаться в окрестности нуля (у Вас по заданию пока что окрестность 3), потом подумайте, на какое стандартное разложение намекает получившаяся после замены функция (может быть придется ее предварительно продифференцировать или, наоборот, найти первообразную).

Так получается надо сначала искать сумму ряда в окрестности 3?

[Someone]

tremor в сообщении #1346664 писал(а):

Someone в сообщении #1346580 писал(а):

А точно ли речь идёт именно о "почленном" дифференцировании? Может быть, о каком-то другом?

Точно

Хорошо, тогда следующий вопрос: что именно надо "почленно" дифференцировать?

[thething]

tremor в сообщении #1346664 писал(а):

Так получается надо сначала искать сумму ряда в окрестности 3?

Сумма ряда в окрестности 3 Вам уже дана -- это $\frac{1}{x^2}$. Вам надо сделать замену переменной $x=t+...$, чтобы из окрестности трех попасть в окрестность нуля. Окрестность нуля нужна для того, чтобы воспользоваться каким-нибудь стандартным разложением для функции, которая получится после замены переменной.

-- 16.10.2018, 14:07 --

Почленное дифференцирование понадобится, когда поймете, какое стандартное разложение надо использовать, т.к. чтобы получить Вашу функцию, это стандартное разложение и придётся продифференцировать.

[Someone]

thething в сообщении #1346678 писал(а):

Почленное дифференцирование понадобится

Я бы всё-таки хотел услышать от tremor, что именно он собирается почленно дифференцировать.

thething в сообщении #1346678 писал(а):

Вам надо сделать замену переменной $x=t+...$

Я бы не стал. Тем более, что в задании указан способ решения, явно отличающийся от использования готового разложения.

[thething]

Someone в сообщении #1346698 писал(а):

Я бы всё-таки хотел услышать от tremor, что именно он собирается почленно дифференцировать.

) Это я не Вам. Судя по вот этому

tremor в сообщении #1346532 писал(а):

Что нужно делать? Я ниразу не сталкивался с подобным подходом

я думаю, он Вам не ответил бы (могу ошибаться).

Someone в сообщении #1346698 писал(а):

Я бы не стал. Тем более, что в задании указан способ решения, явно отличающийся от использования готового разложения.

В задании указано "методом почленного дифференцирования", или Вы имеете ввиду, что он написал там ряд Тейлора? Я так понял. он просто написал то, что знает. По-моему тут как раз через стандартное разложение надо. Впрочем, пусть ТС сам уже разбирается, в чём именно состоит задача.

[Someone]

thething в сообщении #1346701 писал(а):

В задании указано "методом почленного дифференцирования", или Вы имеете ввиду, что он написал там ряд Тейлора?

Если топикстартер правильно прочитал и написал задание, то нужно "разложить в ряд Тейлора методом почленного дифференцирования". То есть, ряд Тейлора он написал к месту. Дальше нужно вычислить производные и подставить в ряд. Но я никак не могу понять, что именно нужно дифференцировать "почленно". А от этого зависит оформление решения.
В одном случае это будет выглядеть как воспроизведение доказательства теоремы о том, что если функция разложима в степенной ряд по степеням $x-x_0$ в некоторой окрестности точки $x_0$, то этот ряд есть ряд Тейлора, но специально для заданной функции, и коэффициенты записаны не как $a_n$, а так, как они записаны в ряде Тейлора. "Почленное" дифференцирование здесь применяется к ряду.
В другом случае ничего подобного делать не надо, только вычислить производные заданной функции и подставить их в ряд Тейлора. Но тогда никакого "почленного" дифференцирования нет, поскольку выражение для функции содержит только один "член", а если уж снабжать дифференцирование каким-нибудь эпитетом, то я бы написал "последовательное".

Ну пусть теперь tremor думает, что ему делать.