Дифференциальный оператор.

[STilda]

Оно то все правильно вы говорите. Но мне не понятно. Ваши рассуждения где то потеряли случай $Lx=1/x$. Для чисел при $n^2=1$ может быть $n=-1, n=1$.
AD, нужно отличный от тождественного оператор. Вообще-то их мне нужно два разных отличных от единичного.

[ewert]

STilda писал(а):

Оно то все правильно вы говорите. Но мне не понятно. Ваши рассуждения где то потеряли случай $Lx=1/x$. Для чисел при $n^2=1$ может быть $n=-1, n=1$.
AD, нужно отличный от тождественного оператор. Вообще-то их мне нужно два разных отличных от единичного.

Ну, Ваш случай ничем по существу не отличается от случая Brukvalub'а (которого Вы вроде как спутали с AD'ом).

Не отличается в том смысле, что операторы-то фактически не дифференциальные. А всего лишь шютки.

[Gafield]

Есть оператор сопряжения. Однако он нелокальный, в отличие от диф. операторов. С другой стороны, в некоторых алгоритмах обработки применяется быстрое преобразование Фурье, так что в этом случае присутствуют экспоненты мнимых аргументов.

[STilda]

Цитата:

Не отличается в том смысле, что операторы-то фактически не дифференциальные. А всего лишь шютки.

та да. мне это тоже не нравится. я как-то хочу, чтоб было похоже на фурье, тоесть не по точкам преобразовывать а целиком функцию в другую. Я не знаю как это формально высказать. Чтобы у полученной функции значение в любой точке зависило от значения исходной функции в любой точке. Но фурье не удовлетвоярет условию. Лапласа, Гильберта, Z, тоже не удовлетворяют.

Gafield писал(а):

Есть оператор сопряжения. Однако он нелокальный, в отличие от диф. операторов.

А по-подробнее можно?

У меня есть пример того что я ищу только на комплексных числах. Три оператора - сопряжение, инверсия относительно единичной окружности, обращение. Они образуют группу между собой. $S^2=I^2=O^2=S I O=E$. Хочу такую же группу но на функциях.

[ewert]

Так бы и сказали, что нужен какой-нибудь оператор, а то -- дифференциальный, дифференциальный...

Вот Вам наводка: четвёртая степень оператора преобразования Фурье равна единичке.

[Руст]

В одной статье я псевдодифференциальный оператор назвал дифференциальным, если постоянные функции входят в его ядро. По сути слово different - подчёркивает различие. Соответственно, при применении к постоянной функции (функции без различия) должен получится 0.

[observer]

STilda писал(а):

область действия, вид оператора, и подобные вещи придумывайте такие, которые отвечают практической сути задачи. Задача прикладная...

Если задача прикладная, то наверное стоит рассматривать конечномерные пространства. В них и найдете примеры.
А еще вопрос - линейность пространств есть обязательное условие?

[STilda]

ewert писал(а):

Вот Вам наводка: четвёртая степень оператора преобразования Фурье равна единичке.

Дак вы гений! Ураа!! А откуда вы такое знаете? Это как-то объясняется? Может еще есть наводки?

observer писал(а):

А еще вопрос - линейность пространств есть обязательное условие?

нет. хотя...

[Руст]

STilda писал(а):

Есть ли такой дифференциальный оператор $D$, чтобы $DD=E$?
(область действия - действительные, комплексные функции)

Если речь идёт об этом, где E единичный оператор, то надо иметь в виду, что E имеет нулевое ядро. т.е $Ef=0\to f=0$. А для операторов, которые вы имеете в виду под дифференциальными ядро не тривиальное, т.е. существует не тождественно нулевая функция f, такая, что $Df=0$, это противоречит тому $0=D0=D(Df)=Ef=f$.

[ewert]

STilda писал(а):

Дак вы гений! Ураа!! А откуда вы такое знаете? Это как-то объясняется? Может еще есть наводки?

Я вообще-то не столько гений, сколько жулик. Если $L$ -- квадрат оператора Фурье, то легко проверяется, что $(Lf)(x)\equiv f(-x)$.

А вот объясняется это действительно достаточно глубоко. Дело в том, что оператор Фурье унитарен, причём его спектр состоит из ровно четырёх изолированных собственных чисел (бесконечнократных): $1$, $-1$, $i$ и $-i$. Соответственно, его квадрат имеет два собственных числа: $1$ и $-1$. Ну а квадрат квадрата уже единичен.

Соответственно, и ещё наводка. Пусть $L$ -- это любой оператор отражения, т.е. оператор вида $L=E-2P$, где $P$ -- это любой ортопроектор (т.е. ортогональный проектор на произвольное подпространство). Любой такой оператор одновременно унитарен и самосопряжён, и его собственные числа равны $1$ и $-1$. Поэтому $L^2=E$.

[Руст]

Для любого линейного оператора $L$, квадрат которого равен единичному это верно $L=T-2P$, P - проектор (ретракт), т.е. отображает в подпространство так, что $P^2=P$.
Для этого достаточно возвести в квадрат $L^2=E\to (Е-L)^2=2(E-L)\to E-L=2P,P^2=P$.
Но это ничего не говорит о дифференциальности. Поэтому, вначале надо определить что подразумевается под дифференциальным оператором. Ясно, что не все дифференциальные операторы линейны (из практики), поэтому вышесказанное ничего не дает. Поэтому я склоняю на рассмотрение ядра операторов. Для любого разумного определения ядро дифференциального оператора больше чем тождественный ноль. Если дифференциальный оператор (это так при разумном определении) 0 переводит в 0, то отсюда даже не уточняя дальнейшее определение получаем $D^2\not =E$. Даже когда последнее не выполняется, но выполняются условия в определении:
1) Дифференциальный оператор имеет не тривиальное ядро,
2) Квадрат дифференциального оператора - дифференциальный оператор.
В этом случае опять получаем, что $D^2\not =E$ для любого дифференциального оператора.
При этом это заключение делается даже не прибегая к точным определениям и не слова об их линейности.

[STilda]

Спасибо.
С ядром подход хорош. С собственными числами интересен. Вот тогда вопрос такой, на вскидку, если есть некоторая группа из линейных операторов, тогда она накладывает ограничения на собственные числа этих операторов, тоесть задает, какие должны быть между ними соотношения. Правильно?

Руст, а если будет условие $D^3=E$ как быть с ядром? Уже никак?

Напомните неучу, а всегда ли диф. ур. имеет не тривиальное решение? (пусть оно нелинейное например)?

[Руст]

STilda писал(а):

Руст, а если будет условие $D^3=E$ как быть с ядром? Уже никак?

Напомните неучу, а всегда ли диф. ур. имеет не тривиальное решение? (пусть оно нелинейное например)?

По идее композиция любых дифференциальных операторов есть дифференциальный оператор. Отсюда вытекает, что любая степень дифференциального оператора дифференциальный оператор и следовательно согласно 1) имеет нетривиальное ядро.

[STilda]

А если задать $x'(t)-1-2i=0$? Решение будет $x(t)=t+2it+complexconst$? Всегда ли можно решить отдельно для действительной отдельно для мнимой?

[STilda]

ewert писал(а):

Соответственно, и ещё наводка. Пусть $L$ -- это любой оператор отражения, т.е. оператор вида $L=E-2P$, где $P$ -- это любой ортопроектор (т.е. ортогональный проектор на произвольное подпространство). Любой такой оператор одновременно унитарен и самосопряжён, и его собственные числа равны $1$ и $-1$. Поэтому $L^2=E$.

Да, только что заметил, ведь если взять несколько таких операторов отражения, они не буду коммутативны . Облом.