Теория вероятности. Формула Байеса.

[Men007]

Иван обычно прогуливает одну лекцию из трех, Сергей - одну из десяти, а Никита - каждую вторую. Преподаватель отметил, что одного студента (из вышеперечисленных) на лекции не хватает. Какова вероятность того, что это был Иван?

Решение:
Формула Баейса:

$$P_{A}(H_{1})= \frac{P_{H_{1}}(A)P(H_{1})}{P(A)}$$

,
Где

$$P_{A}(H_{1})$$

- вероятность того, что отсутствует Иван, при условии, что один из трех студентов отсутствует;

$$P_{H_{1}}(A)$$

- вероятность того, что отсутствует один из трех студентов, при условии, что Иван отсутствует

$$P_{H_{1}}(A)= \frac{1}{3} $$

(данная вероятность равна 1/3, так как по условию задачи всего 3 студента, и только 1 из них прогулял лекцию);

$$P(H_{1})$$

- вероятность того, что Иван отсутствует

$$P(H_{1})= \frac{1}{3}$$

(данная вероятность равна 1/3, так как по условию задачи Иван прогуливает одну лекцию из трех);

$$P(A)$$

- вероятность того, что один из трех студентов отсутствует

$$P(A)=P_{H_{1}}(A)P(H_{1})+P_{H_{2}}(A)P(H_{2})+P_{H_{2}}(A)P(H_{2})= \frac{1}{3} \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \frac{1}{10} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} \approx 0,311$$

Таким образом, получим:

$$P_{A}(H_{1})= \frac{\frac{1}{3} \frac{1}{3}}{0,311} \approx 0,357$$

Верно ли я решил, или что-то напутал?

[mihaild]

Men007 в сообщении #1346220 писал(а):

- вероятность того, что отсутствует один из трех студентов, при условии, что Иван отсутствует

$$P_{H_{1}}(A)= \frac{1}{3} $$

Неправильно. Эта вероятность как минимум должна зависеть от вероятностей прогула остальными студентами (если есть всегда прогуливающий студент, то Иван никогда не окажется единственным прогуливающим; если остальные студенты не прогуливают никогда, то Иван всегда если и прогуливает, то в одиночку).

Men007 в сообщении #1346220 писал(а):

- вероятность того, что один из трех студентов отсутствует

$$P(A)=P_{H_{1}}(A)P(H_{1})+P_{H_{2}}(A)P(H_{2})+P_{H_{2}}(A)P(H_{2})= \frac{1}{3} \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \frac{1}{10} + \frac{1}{3} \frac{1}{2} \approx 0,311$$

А что, события "Иван прогулял", "Сергей прогулял", "Никита прогулял" несовместны?

Условная вероятность обычно обозначается как $P(\text{событие}|\text{условие})$. Первое выражение и $P(H_1)$ у вас написаны правильно, остальное - нет.

[Men007]

mihaild
Вроде бы разобрался.
По формуле Байеса:
$P_{A}(H_{1})=\frac{P_{H_{1}}(A)P(H_{1})}{P(A)}$, где
$P_{A}(H_{1})$ -вероятность того, что отсутствует Иван, а остальные есть, при условии, что один из трех студентов отсутствует;
$P(A) $- вероятность того, что один из трех студентов отсутствует;
$P_{H_{1}}(A)$ - вероятность того, что отсутствует один из трех студентов, при условии, что Иван отсутствует, а остальные есть;
$P(H_{1})$ - вероятность того, что Иван отсутствует, а остальные есть.

Гипотезы:
$A=${отсутствует один из трех студентов};
$H_{1}=${Иван отсутствует, остальные есть};
$H_{2}=${Сергей отсутствует, остальные есть};
$H_{4}=${Никита отсутствует, остальные есть}.
Есть ещё гипотезы (отсутствуют два человека или все три, или все три на месте), но в них нет необходимости.

1) $P(H_{1}) $- вероятность того, что Иван отсутствует, а остальные есть.
$ P(H_{1}) = P(A')P(B)P(C)$, где
$P(A')$ - вероятность того, что Иван прогулял $P(A')=\frac{1}{3}$ (по условию задачи);
$P(B)$ - вероятность того, что Сергей не прогулял $P(B)=\frac{9}{10}$ (по условию задачи);
$P(C)$ - вероятность того, что Никита не прогулял $P(C)=\frac{1}{2}$ (по условию задачи).
Тогда: $ P(H_{1}) = \frac{1}{3}\frac{9}{10}\frac{1}{2}=\frac{3}{20}$.

2) $P(H_{2}) $- вероятность того, что Серuей отсутствует, а остальные есть.
$ P(H_{2}) = P(A)P(B')P(C)$, где
$P(A)$ - вероятность того, что Иван не прогулял $P(A)=\frac{2}{3}$ (по условию задачи);
$P(B')$ - вероятность того, что Сергей прогулял $P(B')=\frac{1}{10}$ (по условию задачи);
$P(C)$ - вероятность того, что Никита не прогулял $P(C)=\frac{1}{2}$ (по условию задачи).
Тогда: $ P(H_{2}) = \frac{2}{3}\frac{1}{10}\frac{1}{2}=\frac{1}{30}$.

3) $P(H_{3}) $- вероятность того, что Никита отсутствует, а остальные есть.
$ P(H_{3}) = P(A)P(B)P(C')$, где
$P(A)$ - вероятность того, что Иван не прогулял $P(A)=\frac{2}{3}$ (по условию задачи);
$P(B)$ - вероятность того, что Сергей не прогулял $P(B)=\frac{9}{10}$ (по условию задачи);
$P(C')$ - вероятность того, что Никита прогулял $P(C')=\frac{1}{2}$ (по условию задачи).
Тогда: $ P(H_{3}) = \frac{2}{3}\frac{9}{10}\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$.

Условные вероятности:
$P_{H_{1}}(A)=P_{H_{2}}(A)=P_{H_{3}}(A)=1$ (по условию задачи), где
$P_{H_{1}}(A)$ - вероятность того, что отсутствует один из трех студентов, при условии, что Иван отсутствует, а остальные есть;
$P_{H_{2}}(A)$ - вероятность того, что отсутствует один из трех студентов, при условии, что Сергей отсутствует, а остальные есть;
$P_{H_{3}}(A)$ - вероятность того, что отсутствует один из трех студентов, при условии, что Никита отсутствует, а остальные есть.
Остальные условные вероятности равны нулю.

По формуле полной вероятности, имеем:
$P(A)=P(H_{1})P_{H_{1}}(A)+P(H_{2})P_{H_{2}}(A)+P(H_{3})P_{H_{3}}(A)$;
$P(A)=\frac{3}{20}+\frac{1}{30}+\frac{3}{10}=\frac{29}{60}$.

Таким образом, получим:
$P_{A}(H_{1})=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{29}{60}}=\frac{9}{29}=0,31$.

[DeBill]

Все-таки, нехорошая задача. Бедные преподы тервера: сочиняют задачи, пытаясь соблюсти и занимательность-приближенность к жизни. и аккуратность. а в результате -увы...

Т.е., в задаче неявно предполагается независимость действий студиозусов - Вы так и решали. А вот если Иван и Никита - кореша, любители пива, но иногда у Ивана совесть просыпается - ответ будет совсем другой, однако...