Постулаты в гипотезе Коллатца

[Soul Friend]

Цикл в гипотезе Коллатца существует тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1)

$$3x+1=x\cdot2^k$$

комментарий:
цикл только при $x=1$ так как $3\cdot1+1=1\cdot2^2$
, при $x>1$ :
$3x+1\neq x\cdot2^k$ ;
$1\neq2^k\cdot x-3x$
2)

$$\lbrace^{3x+1=2^my}_{3y+1=2^nx}\quad \text{some} \; x,y \in N $$

комментарий: не существует такого двойного равенства в гипотезе Коллатца. (не доказано)
3)

$$\lbrace^{3\frac{3x+1}{2^y}+1\equiv0 \; (\text{mod} \; x)}_{{3\frac{3y+1}{2^x}+1\equiv0 \; (\text{mod} \; y)}}\quad \text{some} \; x,y \in N $$

тоже надо доказать что такого не существует.
2 и 3 эквивалентны, достаточно опровергнуть одну из них. Для 2) и 3) $x\neq y$

[Soul Friend]

может кто в этой матрице найдёт доказательство для пункта 3 или 4 предыдущего поста:

Soul Friend в сообщении #1344434 писал(а):

M=matrix(100, 20)
for(m=1, 20, for(n=1, 100, if(Mod(2*n-1,3)==1, M[n,m]=((2^(2*m)*(2*n-1))-1)/3, if(Mod(2*n-1,3)==2, M[n,m]=((2^(2*m-1)*(2*n-1))-1)/3, M[n,m]=0))))

Эта матрица нечётных чисел, предшествующих перед числами $2n-1$ в последовательности, строющуюся по условиям гипотезы Коллатца.


взаимосвязанные последовательности в гипотезе Коллатца:




ниже некоторые свойства этой матрицы:




В этой матрице числа не повторяются. А вот является ли какое либо число $a$ предшественником числа $b$ которая является предшественником числа $a$ ? Вот в чём вопрос.

[Soul Friend]

здесь отпечатка:

Soul Friend в сообщении #1345481 писал(а):

3)

$$\lbrace^{3\frac{3x+1}{2^y}+1\equiv0 \; (\text{mod} \; x)}_{{3\frac{3y+1}{2^x}+1\equiv0 \; (\text{mod} \; y)}}\quad \text{some} \; x,y \in N $$

должно быть:

$$\lbrace^{3\frac{3x+1}{2^m\cdot y}+1\equiv0 \; (\text{mod} \; x)}_{{3\frac{3y+1}{2^n\cdot x}+1\equiv0 \; (\text{mod} \; y)}}\quad \text{some} \; x,y \in N $$

[MMZ]

Soul Friend
Прочитал работу "INTERRELATED SEQUENCES IN THE COLLATZ CONJECTURE", весьма занимательное чтиво.

[Soul Friend]

Хронологический алгоритм для гипотезы Коллатца


Хронологическим алгоритмом для гипотезы Коллатца называется такой алгоритм действий, при
котором для заданного нечётного числа $x$ и числа $m$ сначала выполняется инверсия условий гипотезы
Коллатца начиная с $\lbrace^{x\cdot 2^{2m} \quad \text{if}\; x\equiv 1 (\mod 3)}_{x\cdot 2^{2m-1} \quad \text{if}\; x\equiv 2 (\mod 3)}$
до числа $y\equiv 0 (\mod 3)$ , а после выполняются условия гипотезы Коллатца для числа $y$ до достижения последовательности числа 1.


Нечётные числа $3(2n-1)$ не имеют антецедентных нечётных чисел, так как $2^k \cdot 3(2n-1)-1 \not \equiv 0 \; \text{\mod} \;3$ по инверсии гипотезы Коллатца.
То есть, никакое нечётное число не может спустится до числа вида $3(2n-1)$ (на числа делящиеся на $3$ без остатка).
Пример: $n=2 \quad$; $3(2n-1)=9 \quad$; $2 \cdot 9-1=17 \quad$; $4 \cdot 9-1=35 \quad$; $17 $ и $35$ не делятся на три, тем самым $9$ не имеет антецедентных нечётных чисел в гипотезе Коллатца.


Pari/GP code спуска числа $a$ к $1$:

{a=23;n=0;while(a>1, if(Mod(a,2)!=0,print1(a*3+1,";","  "); a=(a*3+1)/2; print1(a,";","  "); n++);
while(Mod(a,2)==0,a=a/2;n++; print1(a,";","  "));n++);print("[",a,"  ",n,"]")}

Pari/GP code инверсии гипотезы Коллатца для числа $a$ и степени двойки $m$ (пример: $\frac{a\cdot2^m-1}{3}$) :

{m=1; a=13; while(Mod(a,3)!=0, if(Mod(a,3)==1, a=(2^(2*m)*a-1)/3, 
if(Mod(a,3)==2, a=(2^(2*m-1)*a-1)/3)); print(a))}

Pari/GP code хронологического алгоритма для числа $a$ :

{m=1;
a=27;
while(Mod(a,3)!=0, if(Mod(a,3)==1, a=(2^(2*m)*a-1)/3, 
if(Mod(a,3)==2, a=(2^(2*m-1)*a-1)/3))); 
n=0;while(a>1, if(Mod(a,2)==1,print1(a*3+1,";","  "); 
a=(a*3+1)/2; print1(a,";","  "); n++);while(Mod(a,2)==0,a=a/2;
n++; print1(a,";","  "));n++);print("[",a,"  ",n,"]")}

[Soul Friend]

Для нечётных чисел $a>1$ и не делящихся на $3$ инверсия гипотезы Коллатца
имеет конечное количество итерации, и заканчиваются на нечётных числах
кратные трём.(так сказать, числа-ограничители)
Pari/GP код матрицы чисел-ограничителей для нечётных чисел:

{M=matrix(15,8); for(m=2,8, for(n=1, 15, a=2*n-1; while(Mod(a,3)!=0, 
if(Mod(a,3)==1, a=(2^(2*m)*a-1)/3, if(Mod(a,3)==2, a=(2^(2*m-1)*a-1)/3)); 
M[n,m]=a))); default(lines,0); M}

Стоит всего лишь заменить while на if, как мы получим матрицу из предыдущего сообщения.

[danton]

Soul Friend в сообщении #1345481 писал(а):

2)

$$\lbrace^{3x+1=2^my}_{3y+1=2^nx}\quad \text{some} \; x,y \in N $$

комментарий: не существует такого двойного равенства в гипотезе Коллатца. (не доказано)

"2)" доказывается элементарным образом. Для этого не нужны никакие матрицы. Но из эгото все равно не следует гипотеза Коллатца.

Мы можем считать $ x>y$. Поэтому $3y+1<4x$. Из этого получаем, что единственное возможное значение $n$ равно 1. Т.е. $3y+1=2x$. Подставляя $x=(3y+1)/2$ в другое уравнение получаем $(9y+5)/2=2^my.$ Отсюда следует что $5=2^{m+1}y-9y$. Поэтому 5 делится на $y$. Далее легко видеть, что $y=1$ и $y=5$ не подходят.

[Soul Friend]

danton в сообщении #1345867 писал(а):

Но из эгото все равно не следует гипотеза Коллатца.

Там я писал про циклы в гипотезе, что если бы они существовали, то имели бы такой вид. Если доказать что никакие нечётные ${x,y}>1$ не удовлетворяют этим уравнениям, значит и цикла такого не существует (возможно, я описал не все возможности возникновения цикла). А сама гипотеза, конечно, о том, что все числа спускаются до 1. Использовать матрицу никого не заставляю.

[danton]

Soul Friend в сообщении #1345880 писал(а):

danton в сообщении #1345867 писал(а):

Но из эгото все равно не следует гипотеза Коллатца.

Там я писал про циклы в гипотезе, что если бы они существовали, то имели бы такой вид. Если доказать что никакие нечётные ${x,y}>1$ не удовлетворяют этим уравнениям, значит и цикла такого не существует (возможно, я описал не все возможности возникновения цикла). А сама гипотеза, конечно, о том, что все числа спускаются до 1. Использовать матрицу никого не заставляю.

Я же написал в предыдущей сообщении доказательство того, что такой пары нечетных чисел $x$ и $y$ не существует.

Но для доказательства гипотезы Коллатца нужно также доказать что нет тройки нечетных чисел, четверки нечетных чисел и т.д.

[Soul Friend]

danton в сообщении #1345894 писал(а):

Но для доказательства гипотезы Коллатца нужно также доказать что нет тройки нечетных чисел, четверки нечетных чисел и т.д.

да, до меня только дошло. Так мне надо включить такую возможность в IMHO- постулаты. (или почитать больше книжек про гипотезу Коллатца, или просто, почитать больше книг.)

-- 13.10.2018, 16:28 --

(Оффтоп)

впрочем, у меня была такая мысль месяц назад, якобы числа-градины похожи на змей в яме кусающие друг друга за хвосты, но не известно кто за чей хвост кусает. Но тогда я не приложил эту мысль к математике. Но сейчас, когда матрица (опять он со своей матрицей) показывает, кто за чей хвост кусает, и есть формулы отношений этих чисел-градин(матрица оределена вдоль и поперёк) что же недостаёт?

[danton]

Цитата:

впрочем, у меня была такая мысль месяц назад, якобы числа-градины похожи на змей в яме кусающие друг друга за хвосты, но не известно кто за чей хвост кусает. Но тогда я не приложил эту мысль к математике. Но сейчас, когда матрица (опять он со своей матрицей) показывает, кто за чей хвост кусает, и есть формулы отношений этих чисел-градин(матрица оределена вдоль и поперёк) что же недостаёт?

Если Вы понимаете что такое "доказательство", то Вы должны понимать что матрица в принципе не может ничего доказать. В ней же не написаны все возможности до бесконечности.

[Soul Friend]

danton в сообщении #1345911 писал(а):

В ней же не написаны все возможности до бесконечности.

Я думаю что написаны, она ведь масштабируема. Чётных чисел я не рассматриваю(тривиально). А у нечётных есть потолок, я уже писал об этом. Объяснить полезность этой матрицы более, чем приведённые для этой матрицы формулы я уже не смогу, иначе надо будет доказывать гипотезу.

[danton]

Цитата:

Я думаю что написаны, она ведь масштабируема. Чётных чисел я не рассматриваю(тривиально). А у нечётных есть потолок, я уже писал об этом. Объяснить полезность этой матрицы более, чем приведённые для этой матрицы формулы я уже не смогу, иначе надо будет доказывать гипотезу.

Можно поподробнее про потолок для нечетных чисел? Я не вижу где про это написано?

[Soul Friend]

начиная с хронологического алгоритма и следующее за ним сообщение.
но там нет доказательства что потолок обязательно
существует, подразумевалось: если встретится такое число. но я давал ещё матрицу таких потолков.

[danton]

Если речь о том, что нечетные числа делящиеся на 3 не могут получится, то это не то. Оставшихся нечетных чисел все равно бесконечно много.

Допустим мы построили таблицу до тысячи и видим, что там гипотеза верна. А вдруг она нарушается для больших значений? Построим тогда таблицу дальше, до миллиона. А вдруг она нарушается для еще больших значений? Смысл "доказательства" в том и заключается, чтобы исключить все "а вдруг". И этого нельзя добиться строя еще большую таблицу.