Помогите доказать неразрешимость уравнения x^4-y^4=z^2

[leweekend]

Привет участникам!

Помогите, пожалуйста, доказать неразрешимость уравнения
$ x^4-y^4=z^2 $
в ненулевых целых числах только путем применения метода бесконечного спуска и основной теоремы афифметики?

Начал читать книгу Эдвардса "Великая Теорема Ферма", и автор дает много упражнений. Хотелось бы решить задачу тем же образом, которым ее решали математики того времени.

Что получилось у меня:
Переименуем переменные x, y и z, чтобы получилась похожее на Теорему Ферма для $n=4$ уравнение. Будем решать уравнение $x^4 + y^2 = z^4$

Сразу договоримся, что числа x и y взаимно просты - если нет, сократим их оба на общие делители, и поделим на НОД(x,y) число z. Соответственно, числа x и y будут разной четности.

Числа $x^2$, $y$ и $z^2$ образуют Пифагорову тройку, то есть квадрат последнего является суммой квадратов первых двух.

Подставляем в уравнение формулу для Пифагоровых троек.

Так как степени $x^2$ и $y$ не совпадают, исходное уравнение $x^4 + y^2 = z^4$ распадается на два случая:

1-й случай:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x^2=2pq& \\ &y=p^2-q^2& \\ &z^2=p^2+q^2& \\ \end{array} \right.$$

Рассмотрим первый случай. Так как $x^2=2pq$, а p и q взаимно просты, то либо p является четным и p/2 и q являются квадратами, либо q является четным, соответственно q/2 и p являются квадратами. Рассмотрим случай, когда четным является число p и p/2 и q являются квадратами, случай с q/2 и p доказывается аналогично.

Имеем: $\frac{p}{2}=\alpha^2$ , $q=\beta^2$

$y = p^2-q^2 = 4 \alpha^4 + \beta^4$

Здесь мне нехватает опыта, чтобы извернуться и найти подходящий квадрат вместо y, чтобы завершить спуск.

2-й случай:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &x^2=p^2-q^2& \\ &y=2pq& \\ &z^2=p^2+q^2& \\ \end{array} \right.$$

Вот здесь у меня затруднение. В первом случае я воспользовался тем, что два взаимно простых числа из $2pq$ являются квадратами, здесь у меня такой возможности сделать нет, так как число y имеет только первую степень. Здесь я воспользуюсь тем, что $x^2=p^2-q^2$, соответственно оба взаимно простых выражения $p - q$ и $p + q$ являются квадратами. Но мне, наверное, понадобится p/2 и q (либо p и q/2) тоже как квадраты, чтобы завершить доказательство. Что делать?

Кроме того, для общего случая непонятно, почему для Пифагоровой тройки $x^2=2pq$ будет выполняться взаимная простота p и q. Наверное, учитывая, что все числа в уравнении суммы или произведения p и q, возникла идея сократить все уравнения Пифагоровой тройки на НОД(p,q) и тем самым решить задачу, эквивалетную исходной, но уже с примитивными Пифагоровыми тройками.

[ex-math]

Чтобы разобраться, почему $p$ и $q$ взаимно просты, нужно вывести эти соотношения для пифагоровых троек. И да, они предполагаются примитивными.

В первом случае надо рассмотреть уравнение $z^2=4\alpha^4+\beta^4$ и сделать еще один шаг спуска.

Во втором случае перемножьте соотношения для $x^2$ и $z^2$.

[leweekend]

ex-math
Спасибо!

1-й случай сводится к следующему:
Используя $\frac{p}{2}=\alpha^2$ , $q=\beta^2$, преобразуем уравнение $z^2 = p^2 + q^2$ к виду $z^2=4\alpha^4+\beta^4$

Таким образом, получаем классическую теорему Ферма - уравнение $(2\alpha^2)^2 + (\beta^2)^2 = z^2 $

В данной тройке четное только первое слагаемое, иначе p и q не взаимно просты. Применим опять уравнения для Пифагоровых троек:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &2\alpha^2=2mn& \\ &\beta^2=m^2 - n^2& \\ &z=m^2 + n^2& \\ \end{array} \right.$$

Из уравнения $\alpha^2=2mn$ следует, что m и n квадраты. Из уравнения $\beta^2=m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$ следует, что $m - n$ и $m + n$ тоже квадраты.
Обозначим даные квадраты символами $m = i^2, n = j ^ 2, m - n = k^2, m + n = l^2$
Тогда $(m-n)(m+n) = k^2l^2 = (i^2 - j^2)(i^2 + j^2) = i^4 - l^4 = (kl)^2$

Последнее уравнение $ i^4 - l^4 = (kl)^2$ представляет себе уравнение исходного вида $ l^4 + (kl)^2 = i^4$ , но с меньшими по модулю числами, так как $kl = \beta = \sqrt{q}, i = \sqrt{m}=\sqrt{2\alpha^2/2n}=\frac{\alpha}{\sqrt{n}}<\alpha=\sqrt{\frac{p}{2}}, l < \beta = \sqrt{q} $

Соответственно, для первого случая мы получили тройку меньших по модулю чисел i, l, kl, удовлетворяющих исходному уравнению. Продолжая данную последовательность шагов, мы находим бесконечную последовательность уменьшающихся по модулю целых чисел, что невозможно. Тем самым приходим к противоречию.

Правильно?

[ex-math]

Немного усложнили и наделали опечаток. Сразу видим, что $\beta^2=i^4-j^4$.

[leweekend]

Спасибо, теперь случай 1 доказан. Да, $\beta^2 = i^4 - j^4$ я проглядел.

Теперь сложности со случаем 2. Из $x^2 = p^2 - q^2$ можно вывести, что $p - q$ и $p + q$ - квадраты, но далее провести спуск не удается. А что дает перемножение уравнений для $x^2$ и $z^2$ ? Получается уравнение $(xz)^2 = (p - q)(p + q)(p^2 + q^2)$ с четвертыми степенями, и что делать дальше, непонятно.

[ex-math]

Ну как же, $(xz)^2=p^4-q^4$.

[leweekend]

Спасибо, это я понимаю. Но число (xz)^2 не меньше, чем число x или z. Или имеет смысл только то, что правая часть бесконечно уменьшается?

[Shadow]

Смотря какое наименьшее ищем. Во уравнение $x^4=y^4+z^2$

Ищем наименьшее натуральное $x$

$x^2=p^2+q^2\quad\eqno{(1)}$

$y^2=p^2-q^2\quad\eqno{(2)}$

Перемножаем, получаем

$p^4=q^4+(xy)^2\quad\eqno{(3)}$

Но $p<x\quad\eqno{(1)}$
Противоречие.

[leweekend]

А, то есть можно свести уравнение к противоречию, просто договорившись, что мы нашли решение с наименьшим х (наименьшей суммой), и предъявив тройку чисел, где сумма меньше предыдущего?

[grizzly]

leweekend
Конечно. Бесконечным спуском можно работать по любому параметру.

[leweekend]

Спасибо. Тогда, думаю, тему можно закрывать.