Иерархические уровни геометризации

[Alastoros]

В общей теории относительности в силу равенства инертной и гравитационной масс гравитационное поле сообщает всем телам единообразные ускорения, в силу чего идентифицируется с изменением геометрических свойств ПВ.

Не желая выдвигать какую бы то ни было альтернативную теорию и что-то утверждать или отрицать из того, что известно науке, думаю рассмотреть "игрушечную модель", в которой было бы какое-нибудь другое поле, действие которого на тела также было бы единообразным.

Такое поле также имело бы геометрическую природу? А что было бы в том случае, если бы оно сообщало телам единообразные не ускорения, но скорости? Тогда - так как ускорения есть производные от скорости - изменения такого поля в ПВ давали бы единообразные ускорения тел, а его напряженность была бы добавкой к компоненте метрического тензора $g_{0k}$?

[Munin]

Alastoros в сообщении #1341231 писал(а):

в силу чего идентифицируется с изменением геометрических свойств ПВ.

Запомните: в физике нет аббревиатуры "ПВ".

Alastoros в сообщении #1341231 писал(а):

Не желая выдвигать какую бы то ни было альтернативную теорию и что-то утверждать или отрицать из того, что известно науке, думаю рассмотреть "игрушечную модель", в которой было бы какое-нибудь другое поле, действие которого на тела также было бы единообразным.

Такое поле также имело бы геометрическую природу? А что было бы в том случае, если бы оно сообщало телам единообразные не ускорения, но скорости? Тогда - так как ускорения есть производные от скорости - изменения такого поля в ПВ давали бы единообразные ускорения тел, а его напряженность была бы добавкой к компоненте метрического тензора $g_{0k}$?

Достойный замысел. Нет, не добавкой к $g_{0k},$ и вообще не какой-либо добавкой к $g_{\mu\nu}.$

Но для этого замысла вам следует сначала получить достаточную математическую и физическую подготовку.

(0. Я полагаю, что с ОТО и с теоретической физикой вы знакомы, хотя бы в объёме Ландау, Лифшиц. Теория поля, или аналогичном.)

1. Дифференциальные уравнения. ОДУ 1 порядка, 2 порядка, $n$-го порядка.

2. Дифференциальная геометрия. Какие бывают структуры на многообразии. Аффинная связность, риманова структура, скажем, конформная структура, кэлерова структура. Связность на расслоении.

3. Статьи в открытом журнале Living Reviews in Relativity

http://www.livingreviews.org/lrr-2004-2 Goenner H.F.M., On the History of Unified Field Theories, Living Rev. Relativity, 7, (2004), 2.
http://www.livingreviews.org/lrr-2014-5 Goenner H.F.M., On the History of Unified Field Theories. Part II. (ca. 1930–ca. 1965), Living Rev. Relativity, 17, (2014), 5.

Для начала достаточно 1 часть, даже только 2 главу

(Оглавление 2 главы)

Цитата:

2 The Possibilities of Generalizing General Relativity: A Brief Overview


2.1 Geometry

2.1.1 Metrical structure
2.1.2 Affine structure
2.1.3 Different types of geometry
2.1.4 Cartan’s method
2.1.5 Tensors, spinors, symmetries
2.2 Dynamics
2.3 Number field
2.4 Dimension

(Оглавление 2 главы части 2)

Цитата:

2 Mathematical Preliminaries


2.1 Metrical structure

2.1.1 Affine structure
2.1.2 Metric compatibility, non-metricity
2.2 Symmetries

2.2.1 Transformation with regard to a Lie group
2.2.2 Hermitian symmetry
2.2.3 $\lambda$-transformation
2.3 Affine geometry

2.3.1 Curvature
2.3.2 A list of “Ricci”-tensors
2.3.3 Curvature and scalar densities
2.3.4 Curvature and $\lambda$-transformation
2.4 Differential forms
2.5 Classification of geometries

2.5.1 Generalized Riemann-Cartan geometry
2.5.2 Mixed geometry
2.5.3 Conformal geometry
2.6 Number fields

4. Что-нибудь по калибровочным полям. Надо быть в курсе, что на сегодня геометризация физики проведена полностью, как минимум в том смысле, что все четыре известных фундаментальных взаимодействия - геометрические. Например, может подойти начало книги

Коноплёва, Попов. Калибровочные поля.

[SergeyGubanov]

Alastoros, поле скоростей о котором Вы говорите действительно выражается через метрический тензор:

$$ V^i = \frac{g^{0 i}}{\sqrt{ g^{00} }}. $$

Оно обладает соответствующими трансформационными свойствами при преобразованиях трёх пространственных координат ($x^0 = t$):

$$ t' = t, \quad {x'}^i = {x'}^i (t, {\bf x}) \quad \to \quad {V'}^i = \frac{\partial {x'}^i}{\partial x^j} V^j + \frac{\partial {x'}^i}{\partial t}. $$

В частности, гравитационное поле Шварцшильда эквивалентно полю скоростей Пэнлеве:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dr - V \, dt \right)^2 - r^2 d \theta^2 - r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2, \qquad V = \pm \sqrt{\frac{2 k M}{ r }}. $$

На счёт иерархических уровней при переходе от классики к ОТО, то их получается три:

• Сначала вводится поле скоростей $V^i$ на фоне плоского трёхмерного пространства.
• На втором уровне трёхмерному пространству разрешается быть не плоским (ненулевой трёхмерный тензор кривизны).
• На третьем уровне этой иерархии рассматривается четырёхмерный тензор кривизны.

[Alastoros]

Munin в сообщении #1341260 писал(а):

1. Дифференциальные уравнения. ОДУ 1 порядка, 2 порядка, $n$-го порядка.

2. Дифференциальная геометрия. Какие бывают структуры на многообразии. Аффинная связность, риманова структура, скажем, конформная структура, кэлерова структура. Связность на расслоении.

Спасибо за программу, надо все это изучить.

SergeyGubanov в сообщении #1343869 писал(а):

поле скоростей о котором Вы говорите действительно выражается через метрический тензор:

$$ V^i = \frac{g^{0 i}}{\sqrt{ g^{00} }}. $$

Интересно. А допустимо ли тут выражение метрического тензора через реперные векторы? Скорость - это вектор - тензор первого ранга, а метрический тензор - второго, и интересно, возможно ли выразить реперы через скорости и уже из них строить компоненты метрического тензора?

(Оффтоп)

Обратил внимание, что из вида интервала в равноускоренной системе отсчета получаются следующие компоненты $g_{ik}$ - ${g_{00}} = {1 - {a^2}{t^2}{c^{-2}}}$ и ${g_{01}} = {-2at{c^{-1}}}$, откуда, если учесть, что $v = {v_0} + at$, $g_{00}$ - это квадрат 0-компоненты 4-скорости ${u_0}{u_0}$, - но никак не пойму, откуда - если строить метрический тензор из реперов в случае простейшего равенства ${e_i} = {u_i}$ - в $g_{01}$ берется двойка, из матрицы ${\eta}_{ab}$?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1341260 писал(а):

3. Статьи в открытом журнале Living Reviews in Relativity
http://www.livingreviews.org/lrr-2004-2
Goenner H.F.M., On the History of Unified Field Theories, Living Rev. Relativity, 7, (2004), 2.
http://www.livingreviews.org/lrr-2014-5
Goenner H.F.M., On the History of Unified Field Theories. Part II. (ca. 1930–ca. 1965), Living Rev. Relativity, 17, (2014), 5. Для начала достаточно 1 часть, даже только 2 главу
(Оглавление 2 главы)
Цитата:

2 The Possibilities of Generalizing General Relativity: A Brief Overview
2.1 Geometry
2.1.1 Metrical structure
2.1.2 Affine structure
2.1.3 Different types of geometry
2.1.4 Cartan’s method
2.1.5 Tensors, spinors, symmetries 2.2 Dynamics
2.3 Number field
2.4 Dimension
(Оглавление 2 главы части 2)
Цитата:

2 Mathematical Preliminaries
2.1 Metrical structure
2.1.1 Affine structure
2.1.2 Metric compatibility, non-metricity 2.2 Symmetries
2.2.1 Transformation with regard to a Lie group
2.2.2 Hermitian symmetry
2.2.3 $\lambda$-transformation 2.3 Affine geometry
2.3.1 Curvature
2.3.2 A list of “Ricci”-tensors
2.3.3 Curvature and scalar densities
2.3.4 Curvature and $\lambda$-transformation 2.4 Differential forms
2.5 Classification of geometries
2.5.1 Generalized Riemann-Cartan geometry
2.5.2 Mixed geometry
2.5.3 Conformal geometry 2.6 Number fields

4. Что-нибудь по калибровочным полям. Надо быть в курсе, что на сегодня геометризация физики проведена полностью, как минимум в том смысле, что все четыре известных фундаментальных взаимодействия - геометрические. Например, может подойти начало книги
Коноплёва, Попов. Калибровочные поля.

Глянул книгу "Калибровочные поля" и сопоставил с "On the History of Unified Field Theories" применительно к теории Эйнштейна с несимметричным метрическим тензором, в первой говорится, что матаппарат этой теории сложный в том числе и из-за неоднозначности поднятия и опускания индексов, а во второй, что и контравариантная антисимметричная часть метрического тензора обратна ковариантной; а как там все-таки на самом деле? Если она отождествляется с тензором электромагнитного поля, то контравариантный тензор не будет обратен ковариантному, и как же там все-таки считать, когда в формулах она появляется, как тензор, обратный тензору электромагнитного поля, или использовать контравариантный тензор электромагнитного поля?

[Munin]

К тому, что пишет SergeyGubanov, советую относиться со скепсисом. Он может навешать лапши недообученному человеку. De facto у него странная терминология, а знания уровня весьма старых и экзотических источников. Плюс много отсебятины, которую он грамотно от общепринятого не отделяет.

-- 10.10.2018 11:48:17 --

Alastoros в сообщении #1345060 писал(а):

Глянул книгу "Калибровочные поля" и сопоставил с "On the History of Unified Field Theories" применительно к теории Эйнштейна с несимметричным метрическим тензором, в первой говорится, что матаппарат этой теории сложный в том числе и из-за неоднозначности поднятия и опускания индексов, а во второй, что и контравариантная антисимметричная часть метрического тензора обратна ковариантной; а как там все-таки на самом деле?

А что? Я так понимаю, и то и другое верно. Но это отдельные факты, не связанные между собой.

Alastoros в сообщении #1345060 писал(а):

Если она отождествляется с тензором электромагнитного поля, то контравариантный тензор не будет обратен ковариантному, и как же там все-таки считать, когда в формулах она появляется, как тензор, обратный тензору электромагнитного поля, или использовать контравариантный тензор электромагнитного поля?

Если вас интересует отдельная конкретная теория, то лучше искать источники именно по ней, а не довольствоваться беглым упоминанием в других. Хотя я думал, в On the History of Unified Field Theories достаточно подробно всё изложено.

[Alastoros]

Munin в сообщении #1345096 писал(а):

К тому, что пишет SergeyGubanov, советую относиться со скепсисом.

Ну а конкретно вот это -

SergeyGubanov в сообщении #1343869 писал(а):

$$V^i = \frac{g^{0 i}}{\sqrt{ g^{00}}}$$

- верно или неверно?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1345096 писал(а):

и другое верно

Правда? А если взять связность и затем разложить метрический тензор на симметричную и антисимметричную части и вычеркнуть все члены с произведениями от симметричной части, как там считать? Пусть ковариантная антисимметричная часть отождествляется с ковариантным тензором электромагнитного поля и используется мультипольное разложение, тогда, если оно зависит от широты и долготы как синус или косинус и по ним будут браться производные, обратность ему контравариантной части приведет к тому, что в итоге могут получиться функции, которые на некоторых углах обращаются в бесконечность, а это выглядит как-то противоестественно.

Munin в сообщении #1345096 писал(а):

Но это отдельные факты, не связанные между собой.

А, в первом случае имеется в виду поднятие и опускание индексов с помощью метрического тензора?

[Munin]

Alastoros в сообщении #1345125 писал(а):

Ну а конкретно вот это -

SergeyGubanov в сообщении #1343869 писал(а):

$$V^i = \frac{g^{0 i}}{\sqrt{ g^{00}}}$$

- верно или неверно?

Это какая-то формула. В ней связаны дефинированные величины $g^{\mu\nu}$ и какие-то новые. Само по себе это ни верно, ни неверно.

Alastoros в сообщении #1345125 писал(а):

А если взять связность и затем разложить метрический тензор на симметричную и антисимметричную части и вычеркнуть все члены с произведениями от симметричной части, как там считать?

Как там считать что?

Я не понимаю таких постановок вопроса. Я понимаю такие постановки вопроса:
- есть модель (оговариваются все важные нюансы, например, что метрический тензор симметричен или нет);
- в этой модели надо рассчитать какую-то задачу;
- или найти какие-то её параметры, например, законы сохранения;
- сравнить с другими моделями, опять же, на конкретных примерах (задачи, параметры).

Alastoros в сообщении #1345125 писал(а):

Пусть ковариантная антисимметричная часть отождествляется с ковариантным тензором электромагнитного поля и используется мультипольное разложение

Это всё описано где? Мультипольное разложение для чего?

Alastoros в сообщении #1345125 писал(а):

обратность ему контравариантной части приведет к тому, что в итоге могут получиться функции, которые на некоторых углах обращаются в бесконечность, а это выглядит как-то противоестественно.

Лишь бы только на каких-то отдельных углах (меры нуль). Это не страшно, математики такое допускают (например, пополняя комплексную плоскость бесконечной точкой). Важнее возможность использовать такие функции для расчётов, например, их интегрируемость.

[Alastoros]

Munin в сообщении #1345131 писал(а):

Это какая-то формула.

Интересно было бы узнать, какая.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1345131 писал(а):

Как там считать что?

Аффинную связность и тензор кривизны.

Munin в сообщении #1345131 писал(а):

метрический тензор симметричен или нет

Нет.

Munin в сообщении #1345131 писал(а):

Мультипольное разложение для чего?

Электромагнитного поля.

Munin в сообщении #1345131 писал(а):

Это не страшно

А если берется некоторая модель и в ней рассматривается некоторая система, в которой появляется компонента кривизны ${R^a}_{aa{\theta}} = 4{\ctg {2{\theta}}{a^{-1}}$?

[Munin]

Alastoros в сообщении #1345192 писал(а):

А если берется некоторая модель

Какая, чёрт побери?

[SergeyGubanov]

Alastoros в сообщении #1345192 писал(а):

Интересно было бы узнать, какая.

Alastoros, Вы хотели поле, которое всем телам единообразно сообщает скорости. Такое поле возникает при следующей замене координат:

$$ t' = t, \qquad {x'}^i = {x'}^i (t, {\bf x}). $$

При этом все тела совершенно единообразно (независимо от их массы, заряда и т. д.) получают одинаковую добавку к их координатной скорости:

$$ V^i = \frac{\partial {x'}^i}{\partial t} $$

Эта же добавка идёт в $g^{0 i}$. В прошлом сообщении я его ещё разделил на $\sqrt{g^{00}}$, но это было моей ошибкой. Правильным выражением является сами $g^{0 i}$ без деления на $\sqrt{g^{00}}$.

Деление на $\sqrt{g^{00}}$ нужно когда строишь четырёхвектор с единичной нормой:

$$ g_{\mu \nu} g^{0 \mu} g^{0 \nu} = g^{0 0} \qquad \to \qquad g_{\mu \nu} \frac{g^{0 \mu}}{\sqrt{g^{00}}} \frac{g^{0 \nu}}{\sqrt{g^{00}}} = 1. $$

Alastoros в сообщении #1345060 писал(а):

Интересно. А допустимо ли тут выражение метрического тензора через реперные векторы? Скорость - это вектор - тензор первого ранга, а метрический тензор - второго, и интересно, возможно ли выразить реперы через скорости и уже из них строить компоненты метрического тензора?

$$ V^{i} = g^{0 i} = \eta^{a b} e^{0}_{(a)} e^{i}_{(b)} $$

[Guvertod]

Да можно и умножить на функцию хода, будет при неизменной временной как 4-вектор себя вести.

Но если ТС хочет общековарипнтную теорию, надо приравнять 4- скорость к нормировпнному геометрическому 4-вектору (например , н. градиенту скалярной кривизны), а не выражать линейно через метрику.

[SergeyGubanov]

Мне придётся признать, что Munin был прав на счёт моей способности навешать лапши. Я опять неправильно неразделил на $g^{00}$

Сейчас попробую сделать правильно. В общем случае имеем ($i$, $j$, $k$ - трёхмерные индексы; $\mu$, $\nu$ - четырёхмерные):

$$ {g'}^{0 i} = \frac{\partial {x'}^0 }{\partial x^{\mu}} \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{\nu}} g^{\mu \nu} = \frac{\partial {x'}^0 }{\partial x^0} \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{0}} g^{0 0} + \frac{\partial {x'}^0 }{\partial x^j} \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{0}} g^{j 0} + \frac{\partial {x'}^0 }{\partial x^0} \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{k}} g^{0 k} + \frac{\partial {x'}^0 }{\partial x^j} \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{k}} g^{j k}. \eqno(1) $$

Делаем следующее преобразование координат (для удобства обозначаем $x^0 = t$):

$$ {x'}^0 = t, \qquad {x'}^i = {x'}^i (t, {\bf x}). \eqno(2) $$

Тогда $(1)$ принимает следующий вид:

$$ {g'}^{0 i} = \frac{\partial {x'}^i }{\partial t} g^{0 0} + \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{k}} g^{0 k}. \eqno(3) $$

Делим $(3)$ на $g^{00} \ne 0$, получаем:

$$ \frac{ {g'}^{0 i} }{ g^{0 0} } = \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{j}} \frac{ g^{0 j} }{ g^{0 0} } + \frac{\partial {x'}^i }{\partial t}. \eqno(4) $$

Таким образом, наконец-то получаем правильное выражение для трёхмерного координатного поля скоростей:

$$ V^i = \frac{ g^{0 i} }{ g^{0 0} } = \frac{ \eta^{a b} \, e^{0}_{(a)} e^{i}_{(b)} }{ \eta^{c d} \, e^{0}_{(c)} e^{0}_{(d)} } . \eqno(5) $$

Его трансформационные свойства при замене трёх пространственных координат:

$$ {V'}^i = \frac{\partial {x'}^i }{\partial x^{j}} V^j + \frac{\partial {x'}^i }{\partial t}. \eqno(6) $$