2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача n тел
Сообщение09.10.2018, 21:57 
Аватара пользователя


31/08/17
1121
В пространстве движутся $n$ гравитирующих материальных точек $m_1,\ldots,m_n$. За начало инерциальной системы координат принят центр масс данной системы материальных точек. Соответственно радиус-векторы точек $\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_n$.
Из общих теорем динамики известно, что кинетический момент системы $\boldsymbol K=\sum_{i=1}^nm_i[\boldsymbol r_i,\boldsymbol{\dot r}_i]$ не изменяется со временем.

Доказать, что если $\boldsymbol K\ne 0$ то точки не могут все одновременно столкнуться в центре масс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение09.10.2018, 22:06 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
15984
Кронштадт
Кхм... а это не тривиально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение09.10.2018, 22:59 
Аватара пользователя


31/08/17
1121
Нет, не тривиально

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение11.10.2018, 12:32 
Заслуженный участник


03/01/09
1270
москва
Если рассматривать это как физическую задачу, то ее, видимо, можно сформулировать так: может ли система $n$ гравитирующих материальных точек с кинетическим моментом $\boldsymbol K$ в какой-то момент времени собраться в малой области вблизи центра масс системы? Ответ положительный. Предположим есть небольшой массивный вращающийся шар с моментом $\boldsymbol K$. Пусть шар взрывается и распадается на $n$ частей. Если через некоторое время $t_0$обратить скорости осколков, то через время $t_0$они снова соберутся в объеме исходного шара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение11.10.2018, 13:58 
Аватара пользователя


31/08/17
1121
mihiv в сообщении #1345397 писал(а):
Если рассматривать это как физическую задачу, то ее, видимо, можно сформулировать так: может ли система $n$ гравитирующих материальных точек с кинетическим моментом $\boldsymbol K$ в какой-то момент времени собраться в малой области вблизи центра масс системы? Ответ положительный. Предположим есть небольшой массивный вращающийся шар с моментом $\boldsymbol K$. Пусть шар взрывается и распадается на $n$ частей. Если через некоторое время $t_0$обратить скорости осколков, то через время $t_0$они снова соберутся в объеме исходного шара.


Это не физическая переформулировка, это просто совсем другой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение11.10.2018, 16:31 
Аватара пользователя


31/08/17
1121

(подсказка: элементарные факты из небесной механики)

Потенциальная энергия системы имеет вид
$$ V=-\gamma\sum_{i<j}\frac{m_im_j}{|\boldsymbol r_i-\boldsymbol r_j|}$$
Указание. Проверить и использовать формулы:
$$\ddot I=4T+2V,\quad |\boldsymbol K|^2\le 2IT,$$
где $I:=\sum_{k=1}^nm_k|\boldsymbol r_k|^2$ --полярный момент инерции системы, а $T$ -- кинетическая энергия системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение11.10.2018, 20:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13215
с Территории
Позвольте, но как же так? Если они сойдутся все в центре масс, то какой же у них в этот момент будет момент? (pun intended)

-- менее минуты назад --

А, нет, понял. Гравитирующих - значит, при схождении в одной точке у них обесконечнится потенциал, а с ним и мгновенная скорость. Момент всё равно будет не ноль (может быть). И вот надо доказать, что как раз этого-то и не может быть.
Понять нетривиальность задачи оказалось само по себе нетривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение12.10.2018, 11:38 
Заслуженный участник


17/09/10
1737
Одно замечание.
Видимо, в условие задачи надо внести требование об отсутствии столкновений при движении частиц прежде чем они окажутся в центре масс.
Так же, как это сделано при доказательстве теоремы об устойчивости движения по Якоби (см. Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев "Теоретическая механика" 2010 г., теорема 3.10).
Тогда вопросов не возникает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение12.10.2018, 11:40 
Аватара пользователя


31/08/17
1121
scwec
вы, как всегда, по делу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача n тел
Сообщение12.10.2018, 14:22 
Заслуженный участник


03/01/09
1270
москва
Получается, что при $K\ne 0$ точки не могут слишком сильно сблизиться, т.к. система вращается и центробежная сила в конечном счете превышает гравитационную.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group