Задача n тел

[pogulyat_vyshel]

В пространстве движутся $n$ гравитирующих материальных точек $m_1,\ldots,m_n$. За начало инерциальной системы координат принят центр масс данной системы материальных точек. Соответственно радиус-векторы точек $\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_n$.
Из общих теорем динамики известно, что кинетический момент системы $\boldsymbol K=\sum_{i=1}^nm_i[\boldsymbol r_i,\boldsymbol{\dot r}_i]$ не изменяется со временем.

Доказать, что если $\boldsymbol K\ne 0$ то точки не могут все одновременно столкнуться в центре масс.

[Pphantom]

Кхм... а это не тривиально?

[pogulyat_vyshel]

Нет, не тривиально

[mihiv]

Если рассматривать это как физическую задачу, то ее, видимо, можно сформулировать так: может ли система $n$ гравитирующих материальных точек с кинетическим моментом $\boldsymbol K$ в какой-то момент времени собраться в малой области вблизи центра масс системы? Ответ положительный. Предположим есть небольшой массивный вращающийся шар с моментом $\boldsymbol K$. Пусть шар взрывается и распадается на $n$ частей. Если через некоторое время $t_0$обратить скорости осколков, то через время $t_0$они снова соберутся в объеме исходного шара.

[pogulyat_vyshel]

mihiv в сообщении #1345397 писал(а):

Если рассматривать это как физическую задачу, то ее, видимо, можно сформулировать так: может ли система $n$ гравитирующих материальных точек с кинетическим моментом $\boldsymbol K$ в какой-то момент времени собраться в малой области вблизи центра масс системы? Ответ положительный. Предположим есть небольшой массивный вращающийся шар с моментом $\boldsymbol K$. Пусть шар взрывается и распадается на $n$ частей. Если через некоторое время $t_0$обратить скорости осколков, то через время $t_0$они снова соберутся в объеме исходного шара.

Это не физическая переформулировка, это просто совсем другой вопрос.

[pogulyat_vyshel]

(подсказка: элементарные факты из небесной механики)

Потенциальная энергия системы имеет вид

$$ V=-\gamma\sum_{i<j}\frac{m_im_j}{|\boldsymbol r_i-\boldsymbol r_j|}$$

Указание. Проверить и использовать формулы:

$$\ddot I=4T+2V,\quad |\boldsymbol K|^2\le 2IT,$$

где $I:=\sum_{k=1}^nm_k|\boldsymbol r_k|^2$ --полярный момент инерции системы, а $T$ -- кинетическая энергия системы.

[ИСН]

Позвольте, но как же так? Если они сойдутся все в центре масс, то какой же у них в этот момент будет момент? (pun intended)

-- менее минуты назад --

А, нет, понял. Гравитирующих - значит, при схождении в одной точке у них обесконечнится потенциал, а с ним и мгновенная скорость. Момент всё равно будет не ноль (может быть). И вот надо доказать, что как раз этого-то и не может быть.
Понять нетривиальность задачи оказалось само по себе нетривиально.

[scwec]

Одно замечание.
Видимо, в условие задачи надо внести требование об отсутствии столкновений при движении частиц прежде чем они окажутся в центре масс.
Так же, как это сделано при доказательстве теоремы об устойчивости движения по Якоби (см. Болотин, Карапетян, Кугушев, Трещев "Теоретическая механика" 2010 г., теорема 3.10).
Тогда вопросов не возникает.

[pogulyat_vyshel]

scwec
вы, как всегда, по делу.

[mihiv]

Получается, что при $K\ne 0$ точки не могут слишком сильно сблизиться, т.к. система вращается и центробежная сила в конечном счете превышает гравитационную.