Демидович 737

[Ivan_B]

Исследовать на непрерывность функцию $f(x)$, заданную следующим образом:
$f(x)=\frac{nx}{n+1}$, если $x$ есть несократимая рациональная дробь $\frac{m}{n}\quad (n\geqslant 1)$, и $f(x)=|x|$, если $x$-иррациональное число. Построить эскиз графика этой функции.

С отрицательными числами проблем нет - там разрывы в каждой точке $x_0<0$, поскольку в любой ее окрестности есть рациональные и иррациональные числа, то функция будет принимать положительные и отрицательные значения в любой окрестности $x_0$, в самой же $x_0$ функция 0 не равна, поэтому достаточно взять $\varepsilon=|f(x_0)|$
Для положительных рациональных $x_0>0$ функция в иррациональных точках любой окрестности $x_0$ будет принимать значения сколь угодно близкие к $x_0$, в самой же $x_0$ значение функции будет отличаться от $x_0$ на $\frac{m}{n}-\frac{m}{n+1}=\frac{m}{n(n+1)}$
Для положительных иррациональных нужно как-то доказать непрерывность. Знаю, что знаменатели в рациональных точках при приближении к $x_0$ становятся сколь угодно большими.

[Ivan_B]

Разобрался. Зациклился на дроби $\frac{m}{n(n+1)}$ и не мог избавиться от $m$. Удалить тему уже не могу. Приношу извинения за флуд.