Интегрируемость композиции функций

[Tiberium]

Здравствуйте!

Возник вопрос об интегрируемости композиции функций. Для случая, когда $f$ непрерывна, а $g$ интегрируема по Риману, ясно, что композиция будет интегрируемой. А что будет, если их поменять местами? Будет ли такая композиция интегрируема? Если да, то как можно это показать? Если нет, то как построить контрпример?

Это не попытка получить готовый ответ — готов (и очень хотел бы) получить намеки, порассуждать и самостоятельно дойти. Но никакие контрпримеры в голову не приходят, а по критерию интегрируемости доказать не получается.

Спасибо!

[mihaild]

А какие вообще примеры неинтегрируемых функций вы знаете? И знаете ли критерий Лебега?

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1344525 писал(а):

А какие вообще примеры неинтегрируемых функций вы знаете? И знаете ли критерий Лебега?

Неограниченные на $[a,b]$ функции, функция Дирихле не интегрируемы, например.

Критерий Лебега мне известен в такой форме: функция интегрируема по Риману на $[a,b]$, если на этом отрезке она ограничена, а множество точек ее разрыва имеет меру нуль.

[gris]

Есть метод построения контрпримеров. Например, в Вашем случае берём заведомо неинтегрируемую функцию и пытаемся представить её в виде нужной композиции. Вдруг получится?

[mihaild]

Неограниченную функцию так представить не получится (понятно, почему?).
Значит остается надежда только на разрывность. Следовательно, $g$ должна быть разрывна.
Слишком много где она быть разрывна не может (иначе сама будет неинтегрируемой). Давайте для начала рассмотрим разрывную в одной точке функцию - вдруг хватит? Например, $g = \mathbb{I}_{\{1\}}$. Что нужно потребовать от $f$, чтобы $g \circ f$ была неинтегрируемой?

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1344535 писал(а):

Неограниченную функцию так представить не получится (понятно, почему?).
Значит остается надежда только на разрывность. Следовательно, $g$ должна быть разрывна.
Слишком много где она быть разрывна не может (иначе сама будет неинтегрируемой). Давайте для начала рассмотрим разрывную в одной точке функцию - вдруг хватит? Например, $g = \mathbb{I}_{\{1\}}$. Что нужно потребовать от $f$, чтобы $g \circ f$ была неинтегрируемой?

Я правильно понимаю, Вы намекаете на то, что было бы хорошо получить что-то типа функции Дирихле? То есть в качестве первой функции мы берем индикаторную, а вот с выбором второй надо подумать. Есть гипотеза, что можно как-то задействовать множество Кантора.

Или так: $g$ интегрируема на $[a,b]$, $f$ непрерывна на $[c,d]$, но множество значений $f$ не содержится в $[a,b]$.

[mihaild]

Tiberium в сообщении #1344552 писал(а):

То есть в качестве первой функции мы берем индикаторную, а вот с выбором второй надо подумать. Есть гипотеза, что можно как-то задействовать множество Кантора.

Идея правильная - в качестве композиции получится именно индикатор какого-то множества. Но нам нужно такое множество, чтобы: 1) его индикатор не был интегрируем; 2) оно было прообразом $1$ относительно непрерывной функции.

Tiberium в сообщении #1344552 писал(а):

Или так: $g$ интегрируема на $[a,b]$, $f$ непрерывна на $[c,d]$, но множество значений $f$ не содержится в $[a,b]$.

Ну это нужно уточнять постановку задачи. По умолчанию в таких случаях подразумеватеся, что $g$ интегрируема на области определения, а область определения включает образ $f$ [без этого вообще не получится брать композицию].

[Tiberium]

mihaild в сообщении #1344558 писал(а):

Идея правильная - в качестве композиции получится именно индикатор какого-то множества. Но нам нужно такое множество, чтобы: 1) его индикатор не был интегрируем; 2) оно было прообразом $1$ относительно непрерывной функции.

Интуитивно кажется, что нам нужно некое множество ненулевой меры, похожее на канторовское. Скажу честно — погуглил и почитать про "толстое множество Кантора", которое как раз имеет ненулевую меру. Но тогда мне не очевидно, как можно выбрать функции. Тогда $g$ - индикаторная функция, равная 1, если $x in \C$, где $C$ - обычное множество Кантора и $0$ в противном случае. А вот как функцию $f$ сохранить одновременно непрерывной и при этом его множество значений сделать множеством ненулевой меры, я не очень понимаю.

Если мои вопросы совсем бездарные, прошу так и сказать — я сделаю паузу и пойду читать умные книги.

[mihaild]

ИМХО проще думать немного в другую сторону - оставить $g$ простой (в смысле просто устроенной), а с $f$ уже развлекаться.
Давайте считать, что $g$ - индикатор замкнутого множества. Тогда $g \circ f$ - индикатор прообраза этого множества относительно $f$. Индикатор множества разрывен в граничных точках множества, и непрерывен во всех остальных точках. Прообраз замкнутного множества замкнут. Граничные точки замкнутого множества - это все его точки, за исключением внутренних.
Таким образом нам нужно замкнутое множество, мера которого строго больше меры его внутренних точек.
И потом нужно будет построить непрерывную функцию, которая скажем равна $1$ на этом замкнутом множестве, и отлична от $1$ вне него.

[Tiberium]

mihaild

Большое спасибо за помощь. У нас уже достаточно поздно, поэтому завтра постараюсь все осмыслить и додумать.

[DeBill]

Del