Тепловой поток в шаре

[equilibria]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей расчета теплового потока в неоднородном шаре.
Есть однородный шар, радиуса $R_c$, плотностью $\rho_c$. В нем равномерно распределены радиогенные источники мощностью $H$, $ \frac W {kg}$.
Поверх шара есть сферический слой толщиной $d$, плотностью $\rho$. Известны также его теплопроводность и теплоемкость (если надо). Этот слой не содержит никаких дополнительных источников теплоты, он нагревается только от внутреннего ядра (от внутреннего шара). Все тепло от внутреннего ядра проходит через этот слой и излучается на его поверхности.
Вопрос: какой будет поверхностный тепловой поток $F_{surf}$, $ \frac {W} {m^2}$ на внешней поверхности этого двойного шара?

Я посчитала сначала тепловой поток на поверхности внутреннего шара: $F= \frac {F_c} {S_c}$, где $F_c$ - общий тепловой поток из внутреннего шара, $S_c$ - площадь поверхности шара.
$F_c= {M_c} H$, $M_c= \frac {4} {3} \pi {R_c}^3 \rho_c$, $S_c= 4\pi{R_c}^2$.
Полученное значение $F$ с ответом сошлось в точности.
А вот дальше - не сходится.
Я просто взяла общий поток, выделяемый радиогенными источниками во внутреннем шаре, $F_c$, и поделила его на площадь поверхности внешнего сферического слоя $S$, $S= 4\pi{(R_c+d)}^2$. Поток получается заниженным. Учитывая, что в задаче есть еще два внешних слоя, то окончательный ответ по тепловому потоку на поверхности такого 4-х слойного шара сильно отличается от моих расчетов. В ответе поток гораздо выше выходит. Помогите понять, пожалуйста, что я не учитываю.

[Munin]

Чего-то вы про задачу сильно недоговариваете.

[equilibria]

В каком смысле? Непонятен вопрос задачи? Или вопрос по входным данным?

[Munin]

(Для Земли считается, что больше половины эндогенного тепла - получается не из радиоактивного распада, а из гравитационной сепарации недр, как раз в мантии.)

-- 06.10.2018 18:18:18 --

Ну например, непонятно, откуда у вас "правильный ответ", и почему он не учитывает закона сохранения энергии.

[equilibria]

Правильный ответ из статьи наших иностранных коллег, которые считают тепловой поток разных космических объектов, для простоты разбивая их на сферические слои. Мы делаем самостоятельные расчеты и вот у нас никак с ними не сходится. Пытаемся повторить их расчеты на основе их данных, и что-то никак.. Поскольку мы не физики, то вот и вопрос: может, есть какая-то тонкость, которую мы не учитываем?
Гравитационную сепарацию, приливный разогрев и проч. источники не учитываются. Только радиогенный разогрев недр..

[Munin]

Может быть, есть зависимость от начальных данных? Например, если тело вначале имело много радиогенных источников, а потом они подысчерпались, то тепло могло уйти в верхние слои, и постепенно выходить из них.

[equilibria]

Интересно! Действительно, за миллиарды лет космические тела остывали. Тепло могло накапливаться в верхних слоях? А потом как-бы суммироваться с остаточным излучением внутреннего ядра?
Но с другой стороны, ведь внешняя оболочка должна синхронно нагреваться от ядра и, соответственно, остывать вместе с ним? Она остывает медленнее? Это возможно, ведь там другое вещество..
Мы можем рассчитать максимальный радиационный нагрев ядра и оболочки в начальный момент времени 4 млрд лет назад. Потом внутреннее ядро остывает до современных значений в соответствии с законом радиоактивного распада. Оболочка будет остывать по др. закону? Вот как в этом случае рассчитать количество теплоты в ней?

[Munin]

equilibria в сообщении #1344012 писал(а):

Действительно, за миллиарды лет космические тела остывали. Тепло могло накапливаться в верхних слоях?

Ну вот есть грубая оценка, за какое характерное время тело остывает. И она может достигать миллиардов лет, но как я понимаю, чем меньше тело, тем меньше и это время. С другой стороны, мы можем рассматривать молодые тела (например, в экзопланетных системах), крупные тела ("суперземли"), в общем, надо брать какие-то количественные характеристики, чтобы определить, имеет смысл это упоминать, или нет.

И в любом случае, в статье, в которой это бы учитывалось, это было бы упомянуто.

equilibria в сообщении #1344012 писал(а):

Оболочка будет остывать по др. закону?

Надо использовать масштабные свойства уравнения теплопроводности.

[GraNiNi]

equilibria в сообщении #1344012 писал(а):

Тепло могло накапливаться в верхних слоях?

Тепло не может нигде накапливаться.

Там, по сути, имеет место почти стационарный режим теплопередачи с соответствующим распределением температуры по радиусу всех слоев шара.
А поскольку отвод тепла происходит только с наружной поверхности, то она всегда будет холоднее внутренних слоев с соответствующим градиентом температуры обеспечивающим направление теплового потока изнутри наружу.
Поэтому не может внутренняя часть стать холоднее внешней, даже если одномоментно прекратится тепловое излучение от радиогенных источников во внутренней части шара.

[Munin]

Холоднее - не может. Но вот поток - может. Вроде бы.

[equilibria]

GraNiNi в сообщении #1344045 писал(а):

Там, по сути, имеет место почти стационарный режим теплопередачи с соответствующим распределением температуры по радиусу всех слоев шара.

Вот. Они и пишут "стационарный режим".
Правильно ли я поняла, что тепловой поток, излучаемый внутренним ядром, далее будет уменьшаться не обратно пропорционально площади вышележащих слоев (как мы пробовали считать), а в соответствии с температурным градиентом слоя по кондуктивной модели? Т.е. нам надо знать температуру на верхней и нижней границе оболочки (градиент температуры), коэффициент теплопроводности этого слоя и тогда мы получим поток на выходе?

Вот эта вот формула подойдет:
$F=k\frac{dT}{dR}$?
$k$ - коэффициент теплопроводности, $\frac{W}{m K}$.
Но как ее увязать с потоком из ядра? Поток на входе в слой известен. Как из него получить поток на выходе?

[Pphantom]

Если это научная статья, а не учебная задача, то постановка несколько противоестественная. Реальные объекты либо не выйдут на стационарный режим, либо при счете их теплового баланса нельзя будет пренебрегать внешним нагревом. Посему вопрос - можно увидеть ссылку на обсуждаемую статью?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Астрономия»
Причина переноса: тематика.

[equilibria]

Munin в сообщении #1344048 писал(а):

Холоднее - не может. Но вот поток - может. Вроде бы.

Поток реально становится меньше по мере удаления от центрального ядра. Они приводят потоки послойно на границе каждого слоя вплоть до поверхности многослойного шара. Величина потоков падает, но не так быстро, как ожидается из простой пропорции с площадью поверхности.

-- 07.10.2018, 00:11 --

Pphantom в сообщении #1344057 писал(а):

Посему вопрос - можно увидеть ссылку на обсуждаемую статью?

https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com ... 13JE004512

Таблица с потоками и исходными данными №3, стр.1022

[Pphantom]

Ну, одна очевидная деталь видна сразу: приливной разогрев. Для Титана он существенен и точно должен менять общий поток. Вы это учли?