Расчет многомерной функции распределения.

[kirill94]

Возник такой вопрос - какие человечеству известны способы расчета функции распределения для многомерного нормального распределения? Пытаюсь интегрировать в пределах от очень больших отрицательных чисел до необходимых границ, но это и медленно, и к тому же погрешность довольно большая.

А вообще задача стоит так: даны два многомерных нормальных распределения с функциями распределения $F$ и $G$ соответственно. Необходимо минимизировать $F(x_1, \ldots x_n)$ при условии, что $G(x_1, \ldots x_n) = C$ - заранее заданной константе. Насколько я понял, без вычисления функций распределения не обойтись.
Я думал, может можно обойтись малой кровью, ведь функции F и G не абы какие, а функции распределения. Но не придумал, как это можно использовать.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

А вообще задача стоит так: даны два многомерных нормальных распределения с функциями распределения $F$ и $G$ соответственно. Необходимо минимизировать $ F(x_1, \ldots x_n) $ при условии, что $G(x_1, \ldots x_n) = C$ - заранее заданной константе. Насколько я понял, без вычисления функций распределения не обойтись.

Эту задачу нелинейного программирования можно решить численно, используя компьютерную систему Математика. Пример по требованию.

[Andrey_Kireew]

kirill94 перейдите к новым независимым переменным $y_1, ... y_n$, так что бы:
$p(x_1, \ldots x_n)=p_1(y_1) \cdot p_2(y_1) \ldots p_n(y_n) $
для нормального закона это осуществляется простым линейным преобразованием.

Тогда задача сведётся к вычислению $n$ одномерных распределений.

[kirill94]

Andrey_Kireew

Я не очень хорошо ориентируюсь в многомерных распределениях, но разве так можно сделать, если компоненты коррелированы?

[Andrey_Kireew]

kirill94 в сообщении #1343692 писал(а):

Я не очень хорошо ориентируюсь в многомерных распределениях, но разве так можно сделать, если компоненты коррелированы?

конечно! и можно, и нужно (декоррелирующее преобразование)

Добавлено: разумеется, пределы интегрирования у новых переменных будут другими, но их легко найти из того же преобразования.

[Markiyan Hirnyk]

Ссылка.

[kirill94]

Andrey_Kireew

Действительно, я мог бы и сам догадаться, корреляционная матрица симметрична, а значит, приводится к диагональному виду. А что это означает геометрически? Мы разворачиваем и двигаем систему координат так, чтобы эллипсы перешли в круги (грубо говоря)?

Andrey_Kireew
Markiyan Hirnyk

Спасибо за помощь.

[Andrey_Kireew]

kirill94 в сообщении #1343699 писал(а):

А что это означает геометрически? Мы разворачиваем и двигаем систему координат так, чтобы эллипсы перешли в круги (грубо говоря)?

Вернее так: оси эллипсов ориентируются вдоль осей, потом, новые оси можно масштабировать так, чтобы эллипсы превратились в круги.

[Optimizator]

Andrey_Kireew писал(а):

перейдите к новым независимым переменным $y_1, ... y_n$, так что бы:
$p(x_1, \ldots x_n)=p_1(y_1) \cdot p_2(y_1) \ldots p_n(y_n) $
для нормального закона это осуществляется простым линейным преобразованием.

Тогда задача сведётся к вычислению $n$ одномерных распределений.

Проблема в том, что так можно сделать лишь для одной из функций распределения $F$ или $G$ (а у другой после преобразования ковариационная матрица не обязательно упростится), да и даже для нее область интегрирования получится наверняка не прямоугольная. Может, у имеющихся распределений какие-то хорошие свойства есть?

[Markiyan Hirnyk]

Если заданы параметры многомерного нормального распределения, то вычисление его функции распределения механизировано в математической системе Mathematica. Пример по требованию.

[Andrey_Kireew]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1343998 писал(а):

в математической системе Mathematica. Пример по требованию.

далеко не все в ней работают, а изучать новый пакет из за одной задачи не самый разумный путь