Скобки в неассоциативном произведении

[Sinoid]

alcoholist в сообщении #1343350 писал(а):

только $AD$
и таких пар 5, по числу вершин

arseniiv в сообщении #1343352 писал(а):

$CE$ ещё

А, и когда после этого я буду рассматривать диагональ $AD$, ее пару с диагональю $AC$ я считать не буду: эта пара уже засчитана, верно?

-- 03.10.2018, 16:24 --

А все же формула

Sinoid в сообщении #1343322 писал(а):

$S(n+1)=\sum\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}S(i)S(n-i)$

верна?

[iifat]

Sinoid в сообщении #1343443 писал(а):

формула

Там от нуля до $n$ пределы, не?

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1343443 писал(а):

А, и когда после этого я буду рассматривать диагональ $AD$, ее пару с диагональю $AC$ я считать не буду: эта пара уже засчитана, верно?

Ну, это технический какой-то момент конкретного способа счёта. Видимо, стоит ответить «да».

Останется ещё показать, что формула для разбиений многоугольников такая же как для расстановок скобок.

[Sinoid]

iifat в сообщении #1343445 писал(а):

Там от нуля до $n$ пределы, не?

Так-то да, я просто не стал расширять понятие ассоциативной операции.

arseniiv в сообщении #1343447 писал(а):

Останется ещё показать, что формула для разбиений многоугольников такая же как для расстановок скобок.

Я это понимаю, идей пока нет. В случае операции я рассматривал всевозможные положения последней операции. А тут как? Вот на бумаге выпуклый $n+1-$угольник. Нужно получить, к примеру, верхний предел суммирования $n$. Как мне $n$ выжать из многоугольника? Беру какую-нибудь вершину. Тогда остается $n$ вершин... Туды-сюды... И дальше???

[arseniiv]

Найдите в $(n+1+1)$-угольнике $(m+1)$-угольник и $(n-m+1)$-угольник. Ещё поможет пронумеровать его стороны.

-- Ср окт 03, 2018 21:58:11 --

Или лучше иначе: треугольник — это бинарная операция. Как сделать аналогию точной?

[DeBill]

Sinoid
Можно посмотреть на наше произведение: выделить в нем все скобки, в каторых перемножаются именно что две исходных переменных; перемножить ; получим такую же задачу с меньшим числом сомножителей...
Можно посмотреть на наш многоугольник (его $n$ сторон обозначим именами переменных, а последнюю - звездочкой), разрезанный на тр-ки. Среди них есть тр-ки, содержащие пару сторон мн-ка (и даже таких не мене двух). Удалим их (тот, что со звездочкой - если он есть, трогать не бум) - тоже пошла индукция...
Правда, получаемые рек. формулы - не те, что Вы нашли для скобок. На том путю я соответствия не вижу....

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1343481 писал(а):

Или лучше иначе: треугольник — это бинарная операция. Как сделать аналогию точной?

В смысле, например, $\triangle ABC=\triangle ABC\cup\triangle ABB$? DeBill, подумаю.

-- 03.10.2018, 22:50 --

DeBill в сообщении #1343489 писал(а):

выделить в нем все скобки, в каторых перемножаются именно что две исходных переменных

Но перемножать поэтапно, скобка в этап?

[DeBill]

Sinoid в сообщении #1343502 писал(а):

Но перемножать поэтапно, скобка в этап?

Ну, можно и так.. Главное - попробовать состряпать соответствие там и там ...

[Sinoid]

DeBill в сообщении #1343489 писал(а):

Удалим их ... - тоже пошла индукция...

При таком подходе нужно доказать еще выпуклость оставшейся части, что, на основании сведений о выпуклых многоугольниках, известных лично мне пока из школьной геометрии Погорелова, представляется мне довольно затруднительно (честно говоря, потому и не шел в таких направлениях).

[arseniiv]

Sinoid
После подробного описания DeBill мои намёки можно теперь не рассматривать.

Sinoid в сообщении #1343507 писал(а):

При таком подходе нужно доказать еще выпуклость оставшейся части, что, на основании сведений о выпуклых многоугольниках, известных лично мне пока из школьной геометрии Погорелова, представляется мне довольно затруднительно

Ну это какие-то трудности на пустом месте. Пересечение выпуклых областей выпукло (легко проверяется), а отрезание части от области по прямой линии — это её пересечение с полуплоскостью, которая выпукла.

UPD. Заменил непонятно как прокравшиеся объединения на пересечения.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1343511 писал(а):

выпуклых областей

Нет такого понятия у Погорелова (сейчас посмотрел в указателе).

[arseniiv]

Ну можно специализировать до многоугольников. Многоугольность пересечения многоугольника и полуплоскости тоже очевидна. Кстати, как выпуклость определяется: «для любой пары точек, принадлежащих многоугольнику, весь отрезок между ними лежит в нём тоже» или как-то иначе? Для упомянутого определения всё просто, для других может быть и не совсем.

Или возьмём вот определение такое: многоугольник выпуклый, если лежит целиком по одну сторону от продолжения каждой своей стороны. Тут при делении неочевидно было бы только положение относительно прямой деления, если бы оно не было соблюдено по построению.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1343517 писал(а):

многоугольник выпуклый, если лежит целиком по одну сторону от продолжения каждой своей стороны.

Оно самое, треклятое, и попробуй что-нибудь с ним получить!

[arseniiv]

Так чего там треклятого. Его пересечение с полуплоскостью, как я выше пишу, лежит по одну сторону от стороны, лежащей на ограничивающей полуплоскость прямую, а остальные стороны этого пересечения являются сторонами или частями (если делим не диагональю, что здесь излишне) сторон исходного многоугольника, для лежачести по одну сторону от которых мы ничего не испортили пересечением (могли бы разве что улучшить, но лучше уже некуда). То, что это многоугольник, так же легко видеть (и опять же, разрез-диагональ упрощает дело).

-- Чт окт 04, 2018 01:31:58 --

Кстати для разминки докажите как-нибудь эквивалентность двух приведённых определений выпуклости многоугольников.

[DeBill]

arseniiv в сообщении #1343481 писал(а):

Как сделать аналогию точной?

Ааа, я осознал, наконец, что имелось в виду про "разбить на ... и на ...":
при разрезании $n+1$ -угольника с выделенной стороной (той, что мы помечали звездочкой) на тр-ки, будет ровно один тр-к, содержащий выделенную сторону. Удалив его, мы получим два меньших (и также выделенными ребрами - двумя прочим сторонами этого тр-ка)...Это как то похоже на то, что мы хотели со скобками, когда грили про последнюю операцию. Вроде, так действительно будет проще...