Доказать компактность топологического пространства

[vasiliydz]

$F$ -- множество всех функций $f: [0,1]\to[0,1]$ с топологией $\tau$ поточечной сходимости. Доказать, что $(F, \tau)$ -- компактное топологическое пространство, не являющееся секвенциально компактным.

Со вторым проблем не возникло. Как быть с компактностью?

База топологии -- это всевозможные конечные пересечения множеств $V(f_i,t_i,\varepsilon_i)$, где

$$ V(f_i,t_i,\varepsilon_i)=\left\{f\in F\ \Bigg\vert\ |f(t_i)-f_i(t_i)|<\varepsilon_i,\quad f_i\in F,\ t_i\in[0,1],\ \varepsilon_i>0\right\} $$

Попробовал по определению. Если взять произвольное покрытие и взять из него некоторую окрестность $\cap V(f_i, t_i, \varepsilon_I)$, то в ней не достаёт функций, проходящих в точках $t_i$ достаточно далеко от $f_i$. Можно взять одну из таких функций и добавить окрестность из покрытия, содержащую её. Проделав это несколько раз, можно получить систему окрестностей, в которой есть функция, имеющая, например, в $t_1$ любое заданное значение. Но при этом появится куча других $t_i$, поведение в которых мы никак не контролируем. Если и далее добавлять окрестности для $t_2$, $t_3$ и т.п., то вряд ли полученное подпокрытие (если оно вообще получится) будет конечным. Такой подход к построению не выглядит многообещающе.
Метод от противного тоже не принёс плодов. Возможно, есть теорема, которая упрощает решение этой задачи, но я её не сумел отыскать.

[mihaild]

Теорема Тихонова.

[pogulyat_vyshel]

vasiliydz в сообщении #1343209 писал(а):

не являющееся секвенциально компактным

докажите от противного, что последовательность $\{\sin(nx)\}$ не содержит подпоследовательности поточечно сходящейся на $[0,2\pi]$

[Someone]

vasiliydz в сообщении #1343209 писал(а):

Попробовал по определению.

Покажите, что топология поточечной сходимости совпадает с топологией тихоновского произведения.

[vasiliydz]

Спасибо!

Про синусы у меня сходу не получилось доказать, подумаю об этом позже.