2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать компактность топологического пространства
Сообщение02.10.2018, 14:00 


23/06/18
3
$F$ -- множество всех функций $f: [0,1]\to[0,1]$ с топологией $\tau$ поточечной сходимости. Доказать, что $(F, \tau)$ -- компактное топологическое пространство, не являющееся секвенциально компактным.

Со вторым проблем не возникло. Как быть с компактностью?

База топологии -- это всевозможные конечные пересечения множеств $V(f_i,t_i,\varepsilon_i)$, где
$$
V(f_i,t_i,\varepsilon_i)=\left\{f\in F\ \Bigg\vert\ |f(t_i)-f_i(t_i)|<\varepsilon_i,\quad f_i\in F,\ t_i\in[0,1],\ \varepsilon_i>0\right\}
$$
Попробовал по определению. Если взять произвольное покрытие и взять из него некоторую окрестность $\cap V(f_i, t_i, \varepsilon_I)$, то в ней не достаёт функций, проходящих в точках $t_i$ достаточно далеко от $f_i$. Можно взять одну из таких функций и добавить окрестность из покрытия, содержащую её. Проделав это несколько раз, можно получить систему окрестностей, в которой есть функция, имеющая, например, в $t_1$ любое заданное значение. Но при этом появится куча других $t_i$, поведение в которых мы никак не контролируем. Если и далее добавлять окрестности для $t_2$, $t_3$ и т.п., то вряд ли полученное подпокрытие (если оно вообще получится) будет конечным. Такой подход к построению не выглядит многообещающе.
Метод от противного тоже не принёс плодов. Возможно, есть теорема, которая упрощает решение этой задачи, но я её не сумел отыскать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность топологического пространства
Сообщение02.10.2018, 16:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9534
Цюрих
Теорема Тихонова.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность топологического пространства
Сообщение02.10.2018, 18:37 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
vasiliydz в сообщении #1343209 писал(а):
не являющееся секвенциально компактным

докажите от противного, что последовательность $\{\sin(nx)\}$ не содержит подпоследовательности поточечно сходящейся на $[0,2\pi]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность топологического пространства
Сообщение02.10.2018, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18034
Москва
vasiliydz в сообщении #1343209 писал(а):
Попробовал по определению.
Покажите, что топология поточечной сходимости совпадает с топологией тихоновского произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать компактность топологического пространства
Сообщение02.10.2018, 21:50 


23/06/18
3
Спасибо!

Про синусы у меня сходу не получилось доказать, подумаю об этом позже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: oleg_2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group