Демидович 674

[Ivan_B]

С помощью "$\varepsilon-\delta$" рассуждений доказать непрерывность $\arctg x$

Непонятно исходя из чего нужно доказывать.
Вот если нужно доказать, что $f(x)=ax$ непрерывна, то, если я правильно понимаю, нужно сделать так:
$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \Rightarrow f(x_0)-\varepsilon<f(x)<f(x_0)+\varepsilon$
и самый важный переход(который не всегда возможен) - применение обратной функции: $f^{-1}(f(x_0)-\varepsilon)<x<f^{-1}(f(x_0)-\varepsilon)$
Чтобы переход был возможен нужно существование обратной функции(в данном случае аксиома существования обратного элемента) и монотонность(следует из существование противоположного элемента, связи сложения и умножения с порядком, связи умножения со сложением)

С синусом по-другому: там используется свойство $|\sin x|<|x|$(в Зориче не доказывается, используется наглядность) и формула разности синусов(в Зориче не доказывается), доказательство, которое я знаю, тоже основывается на наглядности(сложение векторов).

В случае с арктангенсом, если считать, что по определению эта функция обратная тангенсу, про который известно, что он монотонный и непрерывный, то доказывать нужно в общем случае, что обратная функция тоже будет непрерывной.
Если нужно использовать некоторое свойство арктангенса(как с синусом), то я его не знаю.

[mihaild]

Непрерывность $f(x) = ax$ доказывается обычно по определению (и обратная функция тут точно не поможет - она имеет ровно такой же вид).

У вас проблемы с тем, чтобы применить общую теорему (функция, обратная к непрерывной монотонной, непрерывна) к случаю $\arctg$, или с доказательством общей теоремы?
(рассуждения про общий случай у вас правильные по модулю опечатки в знаке)

[thething]

Видимо, надо применить неравенство $x<\tg x$ (это при $0<x<\frac{\pi}{2}$).

[Ivan_B]

mihaild в сообщении #1342114 писал(а):

Непрерывность $f(x) = ax$ доказывается обычно по определению

Если по определению - это так:
$|a(x_0+\delta)-ax_0|<\varepsilon$
$ax_0-\varepsilon<a(x_0+\delta)<ax_0+\varepsilon$
Для $a>0$
$\frac{ax_0-\varepsilon}{a}<x_0+\delta<\frac{ax_0+\varepsilon}{a}$ (на этом этапе как бы применяется обратная функция, я это имел в виду)
$\frac{ax_0-\varepsilon}{a}-x_0<\delta<\frac{ax_0+\varepsilon}{a}-x_0$
После этого достаточно выбрать любую $\delta \in (\frac{ax_0-\varepsilon}{a}-x_0; \frac{x_0+\varepsilon}{a}-x_0)$

mihaild в сообщении #1342114 писал(а):

У вас проблемы с тем, чтобы применить общую теорему

Не то чтобы проблема, но все, что я могу сделать - это написать "т.к. тангенс - обратная функция, он монотонный и непрерывный,то арктангенс тоже непрерывный". В упражнении написано "С помощью "$\varepsilon-\delta$" рассуждений". Я ничего подобного не делал. Значит такое решение не подходит. Тогда вопрос какое подходит.

thething в сообщении #1342116 писал(а):

Видимо, надо применить неравенство $x<\tg x$ (это при $0<x<\frac{\pi}{2}$).

Неравенство можно получить также как и для синуса. Буду думать что делать дальше.

[Ivan_B]

Разобрался, доказывается точно так же как с синусом, только нужно использовать $|\arctg x|<|x|$ и $\arctg a-\arctg b=\arctg \frac{a-b}{1+ab}$.
Спасибо!